Seperti yang dijelaskan pada postingan sebelumnya yang berjudul MEMAHAMI LIMIT FUNGSI ALJABAR, terdapat beberapa cara dalam menyelesaikan suatu soal limit fungsi aljabar. Penyelesaian paling dasar kita lakukan dengan metode substitusi.
Apa itu Metode Substitusi dalam Limit Fungsi Aljabar
Metode subsitusi adalah metode yang lansung memasukkkan nilai peubah dari suatu variabel.
Jika masih bingung dengan definisi di atas, mari lihat contoh berikut :
Contoh 1
lim 2x2 + 5
x→3
Nah ketika ditanya berapa nilai limit untuk fungsi diatas ?.
Kita menggantikan nilai x = 3 untuk variabel x pada 2x2, nah inilah yang dinamakan substitusi. Sehingga penyelesaian limit di atas secara subsitusi adalah :
lim 2x2 + 5 = 2.(3)2 + 5 = 23
x→3
Contoh 2
lim
x→2
2x2 + 4
2x + 2
=
2.(22) + 4
2.(2) + 2
=
12
6
= 2
Berapa nilai limit untuk fungsi diatas ?.
Dengan memasukkan nilai x = 2 untuk variabel x pada 2x2 dan 2x. Metode inilah yang disebut dengan substitusi. Dengan menerapkan metode substitusi, fungsi limit diatas didapatkan :
lim
x→2
2x2 + 4
2x + 2
=
2.(22) + 4
2.(2) + 2
=
12
6
= 2
Aturan Penggunaan Metode Substitusi
Penggunaan metode substitusi pada limit fungsi aljabar tidak dapat digunakan apabila hasil yang diperoleh adalah bentuk tak tentu atau tidak terdefinisikan.
Seperti apakah bentuk tak tentu ?
Yang dimaksud dengan bentuk tak tentu dari suatu limit adalah limit yang menghasilkan nilai :
0
0
,
∞
∞
dan ∞ - ∞ Lalu bagaimana kalau setelah disubstitusi didapatkan bentuk tak tentu seperti nilai-nilai di atas ???
Jika diperoleh bentuk tak tentu setelah disusbtitusi, maka harus dilakukan metode lain. Berikut ini adalah metode yang digunakan :
- Jika setelah disubstitusi didapatkan nilai :0 0, maka dilakukan metode pemfaktoran. Jika limitnya dalam bentuk akar dan menghasilkan bentuk : 0/0, maka dilakukan metode perkalian faktor sekawan
- Apabila sebuah fungsli limit setelah disubstitusi diperoleh nilai : ∞ ∞, maka harus dilakukan metode lain, yaitu metode membagi dengan pangkat tertinggi dari suatu variabel x
- Apabila setelah disusbtitusi didapatkan nilai : ∞ - ∞, maka dilakukan dengan metode perkalian faktor sekawan
Contoh Soal Metode Substitusi
Soal No.1Tentukan limit fungsi aljabar berikut dengan metode subsitusi :
lim x3 + 2x - 5
x→2
Pembahasan
lim x3 + 2x - 5 = 23 + 2(2) - 5
x→2
= 8 + 4 - 5
= 8 - 1
= 7
Soal No.2
Tentukan limit fungsi aljabar berikut dengan metode subsitusi :
lim
x→3
√7x + 4
Pembahasan
lim
x→3
√7x + 4 = √7(3) + 4
= √21 + 4
= √25
= 5
Soal No.3
Tentukanlah limit fungsi aljabar di bawah ini ?
lim
x→ 2
x2 - 4
x2 - 3x + 2
Pembahasan
Dengan menggunakan metode substitusi diperoleh bentuk tak tentu :
lim
x→ 2
x2 - 4
x2 - 3x + 2
=
22 - 4
22 - 3(2) + 2
=
0
0
Karena diperoleh bentuk tak tentu :
0
0
, maka harus difaktorkan sehingga didapatkan :
lim
x→ 2
x2 - 4
x2 - 3x + 2
=
lim
x→ 2
(x + 2)(x - 2)
(x - 2(x - 1)
⇔
lim
x→ 2
(x + 2)
(x - 1)
⇔
(2 + 2)
(2 - 1)
⇔ 4
Soal No.4
Tentukanlah nilai limit di bawah ini :
lim
x→3
x2 - 9
√
x2 + 7 - 4
Pembahasan
Dengan menggunakan metode substitusi diperoleh bentuk tak tentu :
Karena diperoleh bentuk tidak tentu, maka kita lakukan metode perkalian akar sekawan. Sehingga kita dapatkan nilai limitnya sebagai berikut:
lim
x→3
(x2 - 9)
√
x2 + 7 - 4
=
(32 - 9)
√
32 + 7 - 4
=
0
0
Karena diperoleh bentuk tidak tentu, maka kita lakukan metode perkalian akar sekawan. Sehingga kita dapatkan nilai limitnya sebagai berikut:
lim
x→3
(x2 - 9)
√
x2 + 7 - 4
x
√x2 + 7 + 4
√
x2 + 7 + 4
⇔
lim
x→3
(x2 - 9).(√
x2 + 7 + 4)
(x2 + 7) - 16
⇔
(x2 - 9).(√
x2 + 7 + 4)
(x2 - 9)
lim
x→3
⇔
lim
x→3
(√x2 + 7 + 4)
= (√32 + 7 + 4) = 8
Soal No.5
Carilah nilai limit dari fungsi di bawah ini :
lim
x→∞
2x2 - 5
x2 - 3
Pembahasan
Dengan metode substitusi kita peroleh bentuk tak tentu :
Karena didapatkan bentuk tak tentu :
lim
x→∞
2x2 - 5
x2 - 3
=
2(∞)2 - 5
∞2 - 3
=
∞ - 5
∞ - 3
=
∞
∞
Karena didapatkan bentuk tak tentu :
∞
∞
, maka harus dilakukan metode lain, yaitu metode membagi dengan pangkat tertinggi dari x. Pangkat tertingginya adalah x2. Sehingga hasil limitnya kita dapatkan :
lim
x→∞
2x2 - 5
x2 - 3
⇔
lim
x→∞
2x2
x2
-
5
x2
x2
x2
-
3
x2
⇔
lim
x→∞
2
-
5
x2
1
-
3
x2
=
2
-
5
(∞)2
1
-
3
(∞)2
=
2 - 0
1 - 0
= 2