Tutorial Mata Pelajaran kita kali ini adalah Matematika. Dalam edisi matematika kesempatan ini akan dibahas tentang berbagai jenis soal yang berhubungan dengan limit fungsi aljabar. Dalam materi ini kita akan belajar cara menentukan nilai limit fungsi aljabar dalam berbagai contoh soal limit fungsi aljabar.
Dalam Matematika, Limit adalah nilai yang “didekati” sebuah barisan atau fungsi ketika nilai input dari barisan atau fungsinya mendekati sebuah nilai tertentu. Konsep limit digunakan dalam berbagai macam bidang dalam kehidupan sehari-hari. Sebagai contoh, produksi maksimum dari mesin suatu pabrik, dapat dikatakan merupakan limit untuk pencapain hasil. Pada prakteknya, pencapaian tersebut tidak tepat, tapi mendekati sedekat dekatnya.
Contoh Soal Limit
Soal No.1
Carilah nilai limit berikut :
e.
lim
x→2
2x2 + 4
2x + 2
b.
lim 3x = 3.(3) = 9
x→3
c.
lim
x→2
3x
2
=
3.(2)
2
= 3
d.
lim 3x2 + 5 = 3.(3)2 + 5 = 32
x→3
e.
lim
x→2
2x2 + 4
2x + 2
=
2.(22) + 4
2.(2) + 2
=
12
6
= 2
Soal No.2
Hitunglah nilai limit fungsi aljabar berikut ini:
Pembahasan
Jika hasil substitusi adalah 0/0 (bentuk tak tentu), maka tidak dapat dilakukan dengan cara memasukkan nilai langsung, melainkan harus difaktorkan terlebih dahulu
lim
x→2
x2 - 4
x - 2
=
22 - 4
2 - 2
=
0
0
(bentuk tak tentu)
Jadi hasil faktornya adalah :
lim
x→2
x2 - 4
x - 2
=
(x-2)(x+2)
(x-2)
= (x+2)= (2+2) = 4
Soal No.3
Hitunglah nilai limit dibawah ini :
lim
x→3
x2 - 9
√
x2 + 7 - 4
Pembahasan
Dengan substitusi langsung
lim
x→3
(x2 - 9)
√
x2 + 7 - 4
=
(32 - 9)
√
32 + 7 - 4
=
0
0
Karena diperoleh bentuk tidak tentu, maka harus digunakan cara lain yaitu menggunakan perkalian akar sekawan:
lim
x→3
(x2 - 9)
√
x2 + 7 - 4
x
√x2 + 7 + 4
√
x2 + 7 + 4
⇔
lim
x→3
(x2 - 9).(√
x2 + 7 + 4)
(x2 + 7) - 16
⇔
lim
x→3
(x2 - 9).(√
x2 + 7 + 4)
(x2 - 9)
⇔
lim
x→3
(
√x2 + 7 + 4)
= (
√32 + 7 + 4) = 8
Soal No.4
Hitunglah nilai limit fungsi aljabar berikut ini:
lim
x→2
x2 - 5x + 6
x2 - 4
Pembahasan
Jika disubstitusi langsung, maka akan didapatkan :
lim
x→2
x2 - 5x + 6
x2 - 4
=
22 - 5.(2) + 6
22 - 4
=
0
0
(bentuk tidak tentu)
Dengan demikian kita harus menggunakan cara lain, yaitu : dengan mengfaktorkan dan melakukan turunan. Dalam soal no.4 ini kita lakukan dengan turunan :
lim
x→2
x2 - 5x + 6
x2 - 4
=
2x - 5
2x
=
2.(2) - 5
2.(2)
= -
1
4
Soal No.5
Tentukan nilai limit dari :
Pembahasan
Perhatikan pangkat tertinggi dari x pada
f (x ) = 4x – 1 dan
g(x) = 2x + 1. ternyata pangkat tertinggi dari x adalah satu.
⇔
lim
x→∞
4x
x
-
1
x
/
2x
x
+
1
x
⇔
lim
x→∞
4
-
1
x
/
2
+
1
x
=
4
-
1
∞
/
2
+
1
∞
=
4 - 0
/
2 - 0
= 2
Soal No.6
Tentukan nilai limit dari :
Pembahasan
Fungsi tersebut memiliki x dengan pangkat tertinggi 2, yaitu x
2 yang terdapat pada x
2 - 2. Sehingga :
⇔
lim
x→∞
4x
x2
+
1
x2
/
x2
x2
-
2
x2
⇔
lim
x→∞
4
x
+
1
x2
/
1
-
2
x2
=
4
∞
+
1
(∞)2
/
1
-
2
(∞)2
=
0 + 0
/
1 - 0
= 0
Soal No.7
Carilah nilai limit dari :
Pembahasan
Fungsi tersebut memiliki x dengan pangkat tertinggi 2. Sehingga :
⇔
lim
x→∞
2x2
x2
-
5
x2
/
x2
x2
-
3
x2
⇔
lim
x→∞
2
-
5
x2
/
1
-
3
x2
=
2
-
5
(∞)2
/
1
-
3
(∞)2
=
2 - 0
/
1 - 0
= 2
Soal No.8
Carilah limit dari :
Pembahasan
Jika hasil substitusi adalah 0/0 (bentuk tak tentu), maka tidak dapat dilakukan dengan cara memasukkan nilai langsung, melainkan harus difaktorkan terlebih dahulu
lim
x→a
x4 - a4
x - a
=
a4 - a4
/
a - a
=
0
/
0
(bentuk tak tentu)
Jadi hasil faktornya adalah :
⇔
lim
x→a
(x2 - a2)(x2 + a2)
x - a
Sederhanakan lagi untuk : (x
2 - a
2), sehingga menjadi :
⇔
lim
x→a
(x - a)(x + a)(x2 + a2)
(x - a)
= (a + a)(a
2 + a
2) = 4a
3
Soal No.9
Hitunglah nilai limit dibawah ini :
lim
x→2
√x + 2 - √3x - 2
x - 2
Pembahasan
Dengan substitusi langsung :
lim
x→2
√x + 2 - √3x - 2
x - 2
=
√2 + 2 - √3(2) - 2
2 - 2
=
√4 - √4
0
=
0
0
Karena diperoleh bentuk tidak tentu, maka harus digunakan cara lain yaitu menggunakan perkalian akar sekawan:
lim
x→2
√x + 2 - √3x - 2
x - 2
x
√x + 2 + √3x - 2
√x + 2 + √3x - 2
lim
x→2
(x + 2)(3x -2)
(x - 2)(√x + 2 + √3x - 2)
lim
x→2
-2x + 4
(x - 2)(√x + 2 + √3x - 2)
lim
x→2
-2(x - 2)
(x - 2)(√x + 2 + √3x - 2)
=
-2
(√2 + 2 + √3(2) - 2)
=
-2
(√4 + √4)
=
-1
2
Soal No.10
Hitunglah limit dari :
lim
x→2
2x2 + 3x - 2
x + 2
Pembahasan
lim
x→2
2x2 + 3x - 2
x + 2
=
2(22) + 3(2) - 2
2 + 2
⇔
8 + 6 - 2
4
⇔
12
4
⇔ 3
Soal No.11
Carilah limit dari :
Pembahasan
Jika disubstitusi langsung, maka akan didapatkan :
lim
x→2
x3 - 8
x - 2
=
23 - 8
2 - 4
=
0
0
(bentuk tidak tentu)
Dengan demikian kita harus menggunakan cara lain, yaitu : dengan cara mengfaktorkan :
lim
x→2
x3 - 8
x - 2
=
(x2 + 2x + 4)(x - 2)(
(x - 2)
= (2
2 + 2(2) + 4) = 12
