Seperti yang kita ketahui, Persamaan linear tiga variabel merupakan suatu sistem persamaan yang mengandung tiga variabel. Bentuk ini satu tingkat lebih rumit dibandingkan sistem persamaan linear 2 variabel.
Pada tutorial sebelumnya, kita telah banyak menyajikan contoh soal tentang :
Dalam beberapa contoh soal nantinya, terdapat soal berupa alur cerita yang menuntut kita harus dapat memodelkan soal cerita tersebut dalam bentuk persamaan linear tiga variabel, setelah itu baru kita dapat melanjutkannya dalam mencari masing-masing nilai dari ketiga variabel tersebut.
Apa itu Persamaan Linear Dua Variabel ?
Seperti yang diutarakan di atas,persamaan linear tiga variabel merupakan persamaan yang memiliki tiga variabel dengan masing-masing variabel berderajat satu.Bentuk umum dari
persamaan linear tiga variabel mempunyai bentuk umum :ax + by + cz = d
Keterangan:
- x, y, z adalah variabel
- a adalah koefisien variabel x
- b adalah koefisien variabel y
- c adalah koefisien variabel z
- d adalah konstanta
Dengan catatan : a, b, c adalah bilangan real dan a>0, b>0, c>0Cara Penyelesaian Persamaan Linear Tiga Variabel
Terdapat beberapa cara dalam mencari himpunan penyelesaian dariSistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV), yaitu :- Metode eliminasi
- Metode subsitusi
- Metode eliminasi-subsitusi
- Metode determinan matriks
Latihan Soal Persamaan Linear Tiga Variabel
Soal No.1
Carilah himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut:
5x - 3y + 2z = 3
8x - 5y + 6z = 7
3x + 4y - 3z = 15
8x - 5y + 6z = 7
3x + 4y - 3z = 15
Pembahasan
5x - 3y + 2z = 3 .....(1)
8x - 5y + 6z = 7 .....(2)
3x + 4y - 3z = 15 .....(3)
Langkah 1 : Eliminasi persamaan (1) dan (2)
5x - 3y + 2z = 3 |x3| ⇔ 15x - 9y + 6z = 9
8x - 5y + 6z = 7 |x1| ⇔ 8x - 5y + 6z = 7
_________________ _
7x - 4y = 2 .....(4)
Langkah 2 : Eliminasi persamaan (1) dan (3)
5x - 3y + 2z = 3 ⇔ 15x - 9y + 6z = 9
3x + 4y - 3z = 15 |x2| ⇔ 6x + 8y - 6z = 30
_________________ _
21x - y = 39 .....(5)
Langkah 3 : Eliminasi persamaan (4) dan (5)
7x - 4y = 3 |x3| ⇔ 21x - 12y = 6
21x - y = 39 |x1| ⇔ 21x - y = 39
______________ _
-11y = -33
y = 3
Langkah 4 : Substitusi y = 3 ke persamaan (4)
⇔ 7x - 4y = 2
⇔ 7x - 4(3)= 2
⇔ 7x - 12 = 2
⇔ 7x = 2 + 12
⇔ 7x = 14
⇔ x = 2
Langkah 5 : Substitusi x =2 dan y = 3 pada persamaan(1)
⇔ 5x - 3y + 2z = 3
⇔ 5(2) - 3(3) + 2z = 3
⇔ 10 - 9 + 2z = 3
⇔ 2z = 2
⇔ z = 1
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(2, 3, 1)}Soal No.2
Carilah himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut dengan metode substitusi:
x + y + z = -6
x – 2y + z = 3
-2x + y + z = 9
x – 2y + z = 3
-2x + y + z = 9
Pembahasan
x + y + z = -6 .....(1)
x – 2y + z = 3 .....(2)
-2x + y + z = 9 .....(3)
Langkah 1 : Ubah persamaan (1) menjadi :
x + y + z = -6 = 28 ⇔ z = -x - y - 6 .....(4)
Langkah 2 : Substitusi persamaan(4) kedalam persamaan (2)
⇔ x – 2y + z = 3
⇔ x – 2y + (-x - y - 6) = 3
⇔ -3y - 6 = 3
⇔ -3y = 9
⇔ y = -3
Langkah 3 : Substitusi persamaan(4) kedalam persamaan (3)
⇔ -2x + y + z = 9
⇔ -2x + y + (-x - y - 6) = 9
⇔ -2x + y -x - y - 6 = 9
⇔ -3x - 6 = 9
⇔ -3x = 15
⇔ x = -5
Langkah 4 : Masukkan nila x dan y yang diperoleh ke persamaan(1)
⇔ x + y + z = -6
⇔ -5 - 3 + z = -6
⇔ -8 + z = -6
⇔ z = 2
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(-5,-3,2)}Soal No.3
Pak budi memiliki toko kelontong yang menjual campuran beras A, beras B dan beras C yang dijual dengan klasifikasi berikut :
- Campuran 3 kg beras A, 2 kg beras B, dan 2 kg beras C dijual seharga Rp19.700,00.
- Campuran 2 kg beras A, 1 kg beras B, dan 2 kg beras C dijual Rp14.000.
- Campuran 2 kg beras A, 3 kg beras B, dan 1 kg beras C dijual seharga Rp17.200,00.
Pembahasan
Misal :
a = harga beras per kg beras A
b = harga beras per kg beras B
c = harga beras per kg beras C
Langkah 1: Buat model matematikanya
3a + 2b + 2c = 19.700 .....(1)
2a + b + 2c = 14.000 .....(2)
2a + 3b + c = 17.200 .....(3)
Langkah 2: Eliminasi persamaan(1) dengan (2)
3a + 2b + 2c = 19.700
2a + b + 2c = 14.000
_____________________ _
a + b = 5.700 .....(4)
Langkah 3: Eliminasi persamaan(1) dengan (3)
3a + 2b + 2c = 19.700 |x1| ⇔ 3a + 2b + 2c = 19.700
2a + 3b + c = 17.200 |x2| ⇔ 4a + 6b + 2c = 34.400
_____________________ _
-a - 4b = 14.700 .....(5)
Langkah 4 : Eliminasi persamaan(4) dengan (5)
a + b = 5.700
-a - 4b = 14.700
________________ +
-3b = -9.000
b = 3.000
Langkah 5 : Substitusi nilai b pada persamaan (4)
⇔ a + b = 5.700
⇔ a + 3.000 = 5.700
⇔ a = 5.700 - 3.000
⇔ a = 2.700
Langkah 6 : Substitusi nilai a dan b pada persamaan(2)
⇔ 2a + b + 2c = 14.000
⇔ 2(2700) + 3000 + 2c = 14.000
⇔ 5400 + 3000 + 2c = 14.000
⇔ 8400 + 2c = 14.000
⇔ 2c = 14.000 - 8.400
⇔ 2c = 5.600
⇔ c = 2.800
Dengan demikian dapat kita simpulkan :
- harga per kg beras a = Rp 2.700
- harga per kg beras b = Rp 3.000
- harga per kg beras c = Rp 2.800
Soal No.4
Pada suatu hari, tiga sahabat yang bernama Ali, Badar, dan Carli berbelanja di sebuah toko buku. Mereka membeli buku tulis, pensil dan penghapus. Hasil belanja mereka di toko buku adalah sebagai berikut :
- Ali membeli dua buah buku tulis, sebuah pensil, dan sebuah penghapus seharga Rp 4.700
- Badar membeli sebuah buku tulis, dua buah pensil, dan sebuah penghapus seharga Rp 4.300
- Carli membeli tiga buah buku tulis, dua buah pensil, dan sebuah penghapus seharga Rp7.100
Pembahasan
Misal :
x = Harga untuk sebuah buku tulis
b = Harga untuk sebuah pensil
c = Harga untuk sebuah penghapus
Langkah 1: Buat model matematikanya
2x + y + z = 4.700 .....(1)
x + 2y + z = 4.300 .....(2)
3x + 2b + z = 7.100 .....(3)
Langkah 2: Eliminasi persamaan(1) dengan (2)
2x + y + z = 4.700
x + 2y + z = 4.300
_____________________ _
x - y = 400 .....(4)
Langkah3: Eliminasi persamaan(2) dengan (3)
x + 2y + z = 4.300
3x + 2b + z = 7.100
_____________________ _
⇔ -2x = -2.800
⇔ x = 1400
Langkah 4: Substitusi nilai x ke persamaan(4)
⇔ x - y = 400
⇔ 1400 - y = 400
⇔ y = 1000
Langkah 5: Substitusi nilai x,y ke persamaan(1)
⇔ 2x + y + z = 4.700
⇔ 2(1.400) + 1.000 + z = 4.700
⇔ 2.800 + 1.000 + z = 4.700
⇔ 3.800 + z = 4.700
⇔ z = 900
Dengan demikian dapat diketahui :
- Harga sebuah buku tulis adalah Rp1.400,
- Harga sebuah pensil adalah Rp 1.000,
- Harga ebuah penghapus adalah Rp 900,Soal No.5
Selesaikan persamaan di bawah ini dengan metode eliminasi dan substitusi ?
x + y - z = -3
x + 2y + z = 7
2x + y + z = 4
x + 2y + z = 7
2x + y + z = 4
Pembahasan
x + y - z = -3 ....(1)
x + 2y + z = 7 ....(2)
2x + y + z = 4 ....(3)
Langkah 1 : Eliminasi persamaan (1) dan (2)
x + y - z = -3
x + 2y + z = 7
________________ +
2x + 3y = 4 ....(4)
Langkah 2 : Eliminasi persamaan (1) dan (3)
x + y - z = -3
2x + y + z = 4
________________ +
3x + 2y = 1 ....(5)
Langkah 3 : Eliminasi persamaan (4) dan (5)
2x + 3y = 4 |x3| ⇔ 6x + 9y = 12
3x + 2y = 1 |x2| ⇔ 6x + 4y = 2
____________ _
5y = 10
y = 10/5
y = 2
Langkah 4 : Substitusi y = 2 ke persamaan (4)
⇔ 2x + 3y = 4
⇔ 2x + 3(2) = 4
⇔ 2x + 6 = 4
⇔ 2x = 4 - 6
⇔ 2x = -2
⇔ x = -1
Langkah 5 : Substitusi x = -1 dan y = 2 pada persamaan(1)
⇔ x + y - z = -3
⇔ -1 + 2 - z = -3
⇔ 1 - z = -3
⇔ - z = -3 - 1
⇔ - z = -4
⇔ z = 4
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(-1, 2, 4)}