Contoh Soal Persamaan Linear Dua Variabel Beserta Jawabannya

Tutorial matematika kali ini akan membahas tentang Persamaan Linear Dua Variabel. Pada edisi tutorial pembelajaran matematika sebelumnya, kita telah membahas tentang apa yang dimaksud dengan persamaan linear satu variabel yang kemudian dilanjutkan dengan contoh soal serta langkah-langkah penyelesaiannya.

Nah, dalam tutorial ini, kita akan melanjutkan pembahasan persamaan linear, namun persamaan linear yang kita bahas dengan menggunakan dua variabel yang biasa disebut dengan persamaan linear dua variabel. Seperti biasa, kita akan memulai terlebih dahulu dengan pemahaman dasar apa yang dimaksud dengan persamaan linear dua variabel, lalu dimana letak perbedaan dengan persamaan linear satu variabel kemudian baru kita masuki latihan soal beserta langkah-langkah penyelesaiannya.

Apa itu Persamaan Linear Dua Variabel ?

Persamaan linear dua variabel adalah persamaan linear yang memiliki dua variabel, dengan pangkat masing-masing variabel adalah satu. Persamaan Linear Dua Variabel memiliki bentuk umum :

 ax + by = c dimana x dan y adalah variabel dan a, b, c ∈ R (a ≠ 0, b ≠ 0).

Contoh Persamaan Linear Dua Variabel
Yang manakah dibawah ini yang dianggap sebagai pertidaksamaan linear satu variabel:
a.  2x - y  = 10
b. 5x - 3y + 2 = 2x + 2y + 12
c. 2x - 2 = 10
d. 𝑝2 − 2𝑝 + 1 ≤ 0

Penyelesaian:
a. Variabel pada persamaan : 2x - y  = 10 adalah x dan y dan pangkat dari masing-masing variabel tersebut adalah 1. Maka persamaan termasuk dalam persamaan linear dua variabel.

b. Variabel pada persamaan : 5w - 3z + 2 = 2w + 2z+ 12 adalah w dan z dan masing-masing variabel berpangkat satu. Karena memiliki dua variabel (w dan z) dan berpangkat satu, maka termasuk persamaan linear dua variabel.

c. Variabel pada persamaan :  2x - 2 = 10 adalah x dan berpangkat satu. Karena hanya terdapat satu variabel, maka persamaan ini bukan termasuk persamaan linear dua variabel.

d. Variabel pada persamaan : 𝑝2 − 2𝑝 + 1 ≤ 0 adalah p yang berpangkat satu dan dua. Karena hanya terdapat dua variabel yang hanya dibedakan dari pangkatnya, maka dianggap variabel tersebut satu jenis atau satu saja. Dengan demikian dianggap bukan persamaan linear dua variabel.

Cara Penyelesaian Persamaan Linear Dua Variabel

Berikut ini beberapa cara yang dapat digunakan dalam menyelesaikan suatu persamaan linear dua variabel :

1. Metode substitusi

Metode subtitusi dilakukan dengan menggantikan suatu variabel dengan variabel dari persamaan lain.

Misal :

2x – y = 6 ……(i)
x  + y = 3 ……(ii)

Langkah Pertama
Dirubah salah satu persamaan dalam bentuk x = …. Atau y = ….
Dari persamaan (i), kita dapat memperoleh :

 2x – 6 = y
      y = 2x -6

Langkah kedua 
Subtitusikan persamaan diatas ke perssamaan (ii) sehingga didapatlah nilai x:

x + (2x – 6) = 3
     3x – 6  = 3
          3x = 3 + 6
          3x = 9
           x = 3

Langkah Ketiga
Nilai x = 3 dimasukkan ke persamaan (i) atau ke persamaan (ii).
Misalkan x = 3 disubtansikan ke persamaan (ii), sehingga didapatlah nilai y:

x + y = 3
3 + y = 3
    y = 3 - 3
    y = 0

Jika sendaianya x = 3 dimasukkan ke persamaan (i), sehinggap nilai y :

2x  – y = 6
2.3 - y = 6
  6 – y = 6
      y = 6-6
      y = 0

Dengan demikian tidak ada masalah apakah dimasukkan ke persamaan (i) atau (ii) maka nilai y yang diperoleh tetap sama.
jadi, penyelesaiannya adalah x = 3 dan y = 0, ditulis HP = {(3,0)}

2. Metode eliminasi

Metode eliminasi dilakukan dengan cara menghilangkan salah satu variabel.

Misal :

2x – y = 6 ……(i)
x  + y = 3 ……(ii)

Langkah awal 
Kita dapat menghilangkan salah satu variabel, baik variabel x maupun y. Untuk menghilangkan variabelnya, perhatikan kedua persamaan tersebut, berapa kali berapa sehingga jika ditambah atau dikurangi maka ada variabel yang hilang.

Dalam langkah ini, kita ingin menghilangkan variabel x terlebih dahulu. Kita tahu tedapat nilai 2x di persamaan (i) dan nilai x di persamaan (ii). Agar hilang maka kita kalikan satu (x 1) pada persamaan (i) dan kali dua di persamaan dua (ii), lalu hasil perkaliannya dikurangi :

2x – y = 6 |x 1| ⇔ 2x – y  = 6
 x + y = 3 |x 2| ⇔ 2x + 2y = 6

2x -  y = 6
2x + 2y = 6
___________ _
     -3y = 0
       y = 0

Langkah Kedua
Kita akan hilangkan variabel y
Jika kita lihat persamaan (i) memiliki nilai -y dan persamaan (ii) memiliki nilai y, maka kedua persamaan tersebut langsung dapat dijumlahkan agar hilang variabel y.

2 x – y = 6
  x + y = 3
___________ +
     3x = 9
      x = 3

jadi, penyelesaiannya adalah x = 3 dan y = 0, ditulis HP = {(3,0)}

3. Metode Campuran (Penggabungan Metode Substitusi + Metode Eliminasi)

Metode ini dilakukan dengan menggbungkan metode eliminasi dan metode substitusi

Misal :

2x – y = 6 ……(i)
x  + y = 3 ……(ii)

Langkah awal 
Kita lakukan metode eliminasi dengan menghilangkan variabel x
2x – y = 6 |x 1| ⇔ 2x – y = 6

 x + y = 3 |x 2| ⇔ 2x + 2y = 6

2x -  y = 6
2x + 2y = 6
___________ _
     -3y = 0
       y = 0

Langkah Kedua
Pada langkah ke-2 ini, dilakukan metode substitusi yaitu dengan memasukkan nilai ke suatu persamaan.

Masukkan nilai y yang di dapat ke persamaan (i) atau ke persamaan ke (ii). Misal kita masukkan ke persamaan (i), maka:

2x – y = 6
2x - 0 = 6
    2x = 6
     x = 3

jadi, penyelesaiannya adalah x = 3 dan y = 0, ditulis HP = {(3,0)}

4. Metode Grafik

Pada metode grafik, kita harus menggambarkan grafik dari kedua persamaan. Titik potong antara dua grafiklah yang diambil sebagai penyelesaiannya.

Misal, kita memiliki dua persamaan :

x + y  = 4   ......(i)
x + 2y = 6   ......(ii)

Langkah Pertama
Kita akan mengambar grafik untuk persamaan (i) : x + y = 4.
Untuk menggambarkan grafiknya, tentunya harus dicari titik potong di x dan di y, sehingga :

Jika x = 0, maka:
x + y = 4
0 + y = 4
y = 4 => titik potong di y (0, 4)

Jika y = 0, maka:
x + y = 4
x + 0 = 4
x = 4, => titik potong di x (4, 0)

Jadi titik potong persamaan x + y = 4 adalah (0,4) dan (4,0)

Langkah Kedua
Kita akan mengambar grafik untuk persamaan (ii) : x + 2y = 6

Jika x = 0, maka:
x + 2y = 4
0 + 2y = 4
     y = 2 => titik potong di y (0, 2)

jika y = 0, maka:
x + 2y = 6
x + 0 = 6
x = 6, => titik potong di x (6, 0)
Jadi titik potong persamaan x + 2y = 6 adalah (0,2) dan (6,0)

Langkah Ketiga
Dari titik potong persamaan(i) dan persamaan (ii) kita gambarkan grafiknya seperti gambar dibawah ini :

Dari gambar diatas, koordinat titik potong kedua garis tersebut adalah (3, 1). Dengan demikian, himpunan penyelesaian adalah {(3, 1)}.

Latihan Soal

Soal No.1
Umur Dina 7 tahun lebih muda dari umur Desi. Jumlah umur mereka adalah 43 tahun. Berapakah umur Dina dan Desi ?.

Pembahasan

Misalkan :Umur Dina = x 
          Umur Desi = y

Maka : Umur Dina 7 tahun lebih muda dari umur Desi 
       dapat dibuat menjadi sebuah persamaan : y – x = 7...(1)

       Jumlah umur mereka adalah 43 tahun
       dapat dibuat menjadi sebuah persamaan : x + y = 43...(2)


Persamaan (1) : y - x = 7
                    y = 7 + x

Lalu subtitusikan y = 7 + x kedalam persamaan (2)
x +     y = 43
x + 7 + x = 43
   2x + 7 = 43
       2x = 43 - 7
       2x = 36
        x = 18

Jadi, umur Dina adalah 18 tahun dan umur Des 25 tahun.

Soal No.2
Diketahui :

4x + 3y = 34 ... Persamaan (i)
5x +  y = 37 ... Persamaan (ii)

Tentukanlah nilai x dan y dengan metode eleminasi ?

Pembahasan

Langkah Pertama
Untuk mengeliminasi variabel y, maka persamaan nomor 1 dikalikan dengan 1 dan persamaan nomor 2 dikalikan dengan 3. Kedua persamaan dikurangkan agar variabel y hilang.

4x + 3y = 34 |x 1| ⇔  4x + 3y = 34 
5x +  y = 37 |x 3| ⇔ 15x + 3y = 111

 4x + 3y = 34
15x + 3y = 111
_____________ - 
    -11x = -77
       x = 7

Langkah Kedua
Untuk mencari nilai y, persamaan nomor 1 dikalikan dengan 5 dan persamaan nomor 2 dikalikan dengan 4. Kedua persamaan dikurangi agar variabel x hilang.

4x + 3y = 34 |x 5| ⇔  20x + 15y = 170
5x +  y = 37 |x 4| ⇔  20x +  4y = 148

20x + 15y = 170
20x +  4y = 148
_____________ - 
      11y = 22
        y = 2

Jadi Nilai x = 7 dan nilai y = 2.

Soal No.3

---

Carilah penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel berikut ini dengan metode substitusi:

x  + y   = 8    ... Persamaan (i)
2x + 3y  = 19   ... Persamaan (ii)

Pembahasan

A. Langkah Pertama

Dari persamaan(i) kita dapat memperoleh nilai x sebagai berikut :

⇔ x + y   = 8  
⇔ x = 8 - y ....(iii)

B. Langkah Kedua

Berikutnya kita substitusikan persamaan (iii) ke dalam persamaan (ii) :

⇔ 2x + 3y = 19 
⇔ 2(8 - y) + 3y = 19
⇔ 16 - 2y  + 3y = 19  
⇔ 16 + y = 19
⇔ y = 3

C. Langkah Ketiga

Nilai y = 3 kita substitusikan ke dalam persamaan (i) :

⇔ x + y = 8 
⇔ x + 3 = 8
⇔ x = 8 - 3
⇔ x = 5

Jadi, penyelesaian dari persamaan tersebut adalah x = 5 dan y = 3

Soal No.4 (UN 2016)

---

Seorang tukang parkir mendapat uang sebesar Rp17.000,00 dari 3 buah mobil dan 5 buah motor, sedangkan dari 4 buah mobil dan 2 buah motor ia mendapat uang Rp18.000,00. Jika terdapat 20 mobil dan 30 motor, banyak uang parkir yang diperoleh adalah ...
A. Rp135.000,00
B. Rp115.000,00
C. Rp110.000,00
D. Rp100.000,00

Pembahasan

A.Langkah Pertama
Buat pemodelan matematika dengan menjadikan informasi dalam soal menjadi suatu persamaan.

Misalkan: Mobil = x 
          Motor = y

Maka : Seorang tukang parkir mendapat uang sebesar Rp17.000,00 
       dari 3 buah mobil dan 5 buah motor dapat dibuat menjadi 
       sebuah persamaan menjadi :      3x + 5y = 17.000 ...(1)

       Sedangkan dari 4 buah mobil dan 2 buah motor ia mendapat 
       uang Rp18.000,00 dapat dibuat menjadi sebuah 
       persamaan menjadi :              4x + 2y = 18.000 ...(2)

B.Langkah Kedua
Untuk mengeliminasi variabel x, maka persamaan nomor 1 dikalikan dengan 4 dan persamaan nomor 2 dikalikan dengan 3. Kedua persamaan dikurangkan agar variabel x hilang.

3x + 5y =17.000 | x4 |12x + 20y = 68.000
4x + 2y =18.000 | x3 |12x +  6y = 54.000 

12x + 20y = 68.000
12x +  6y = 54.000
__________________ _ 
      14y = 14.000
        y = 14.000/14
        y = 1.000

C.Langkah Ketiga
Kita lakukan proses subtitusi nilai y = 1.000 ke persamaan (1):

3x+ 5y = 17.000
⟺ 3x + 5(1.000) = 17.000
⟺ 3x + 5.000 = 17.000
⟺ 3x = 17.000 – 5.000
⟺ 3x = 12.000
⟺ x = 12.000/3
⟺ x = 4.000

D.Hitung Uang Parkir 20 mobil dan 30 motor
Sekarang kita sudah mendapat biayar parkir dimana :
1 Mobil = Rp 4.000
1 Motor = Rp 1.000

Maka Biaya Uang Parkir 20 mobil dan 30 motor adalah :

⟺ 20 x + 30 y 
⟺ 20(4.000) + 30(1.000)
⟺ 80.000 +  30.000
⟺ 110.000

Jawab : C

Soal No.5

---

Carilah himpunan penyelesaian sistem persamaan dua variabel berikut dengan metode eliminasi:

x + 5y = 13 ...Persamaan (i)
2x - y = 4 ...Persamaan (ii)

Pembahasan

Langkah Pertama Untuk mengeliminasi variabel x, maka persamaan nomor 1 dikalikan dengan 2 dan persamaan nomor 2 dikalikan dengan 1. Kedua persamaan dikurangkan agar variabel x hilang.

x + 5y = 13 |x 2| ⇔ 2x + 10y = 26
2x - y = 4  |x 1| ⇔ 2x -   y = 4 

2x + 10y = 26
2x -   y =  4
______________ _
     11y = 22
       y = 2

Langkah Kedua Untuk mengeliminasi variabel y, maka persamaan nomor 1 dikalikan dengan 1 dan persamaan nomor 2 dikalikan dengan 5. Kedua persamaan dijumlahkan agar variabel y hilang.

x + 5y = 13 |x 1| ⇔   x + 5y = 13
2x - y = 4  |x 5| ⇔ 10x - 5y = 20

  x + 5y = 13
10x - 5y = 20
______________ +
     11x = 33
       x = 3

Jadi Nilai x = 3 dan nilai y = 2.

Anda dapat menyimak beberapa penjelasan contoh soal dalam video berikut ini :