Contoh Soal Menyusun Persamaan Kuadrat Baru dan Pembahasannya

Serba Definisi dalam mata pelajaran matematika kali ini akan membahas lanjutan tentang Persamaan Kuadrat. Topik kita kali ini adalah tentang " Bagaimana menyusun atau membentuk suatu persamaan kuadrat baru ?".

Pada pembahasan persamaan kuadrat sebelumnya, telah dibahas tentang : tiga metode penyelesain persamaan kuadrat, sifat-sifat dari akar persamaan kuadrat. Nah lanjutannya sekarang ini masih tentang persamaan kuadrat, yaitu tentang : "Menyusun atau membentuk Persamaan Kuadrat Baru".

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka persamaan kuadrat itu dapat disusun dengan 2 cara berikut:

1. Memakai Faktor

(x - x1)(x - x2) = 0

Contoh.1
Tentukan Persamaan Kuadrat yang akar-akarnya 3 dan 5 ?

Jawab :

x1 = 3 dan x2 = 5

(x-x1)(x-x2)=0

(x-3)(x-5)=0

x²-8x+15=0

Jadi Persamaan Kuadratnya adalah:x²-8x+15=0

Contoh.2
Tentukan Persamaan Kuadrat yang akar-akarnya 5 dan -2 ?

Jawab :

x1 = 5 dan x2 = -2

(x-x1)(x-x2)=0

(x-5)(x-(-2))=0

(x-5)(x+2))=0

x²-3x-10=0

Jadi Persamaan Kuadratnya adalah:x²-3x-10=0

2. Dengan Rumus Jumlah dan Hasil kali Akar

x2 - (x1 + x2)x + x1.x2

Contoh.1:
Misalkan akar-akar Persamaan Kuadrat x² + 5x + 4 = 0 adalah x₁ dan x₂. Tentukan Persamaan Kuadrat yang akar-akarnya : 3x₁ dan 3x₂ ?.

Jawab:

Dari persamaan :x2 + 5x + 4 = 0, didapatkan nilai :
a = 1
b = 5
c = 4
maka,  x1+x2 = -5 dan  x1.x2 = 4

Persamaan Kuadarat Barunya :
x2 - (3x1 + 3x2)x + (3x1.3x2) = 0 
x2 - 3(x1 + x2)x + 9(x1.x2) = 0 
x2 - 3(-5)x + 9(4) = 0 
x2 + 15x + 36 = 0

Contoh 2:
Jika x1 dan x2 merupakan aka-akar persamaan kuadrat  2x² + x − 4 = 0. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya (x1 - 4) dan (x2 - 4) ?


Jawab:

Dari persamaan :2x2 + x − 4 = 0, didapatkan nilai :
a = 2
b = 1
c = -4
maka,  x1+x2 = -12 dan  x1.x2 = -2

Jumlah dan Hasil kali akar-akar yang baru sesuai dengan soal :
Hasil Penjumlahan akar baru :
⇒ (x1 - 4) + (x2 - 4) = (x1 + x2) − 8
⇒ (x1 - 4) + (x2 - 4) = -12 − 8 
⇒ (x1 - 4) + (x2 - 4) = -172

Hasil Perkalian akar baru :
⇒ (x1 - 4).(x2 - 4) = (x1.x2) − 4x1 − 4x2 + 16
⇒ (x1 - 4).(x2 - 4) = (x1.x2) − 4(x1 + x2) + 16 
⇒ (x1 - 4).(x2 - 4) = -2 − 4(-12) + 16 
⇒ (x1 - 4).(x2 - 4) = -2 + 2 + 16
⇒ (x1 - 4).(x2 - 4) = 16 

Maka persamaan kuadrat barunya menjadi :
⇒ x2 − {(x1 - 4) + (x2 - 4)}x + (x1 - 4).(x2 - 4) = 0
⇒ x2 − (-17⁄2)x + 16 = 0
⇒ 2x2 + 17x + 32 = 0

Contoh.3
Tentukan Persamaan Kuadrat yang akar-akarnya 3 dan 5 ?

Jawab:

Dengan Rumus Jumlah dan Hasil kali Akar: x1 = 3 dan x2 = 5
⇒ x2-(x1+ x2)x + x1.x2=0
⇒ x2-(3+5)x + 3.5 =0
⇒ x2-8x + 15 =0

Jadi Persamaan Kuadratnya adalah: x²-8x + 15 =0

Contoh.4

---

Tentukan persamaan kuadrat baru yang akarnya berkebalikan dan akar-akarnya persamaan x²+5×-3=0 ?

Pembahasan

Dari persamaan : x²+5×-3 = 0, kita dapatkan :
a = 1
b = 5
c = -3

x₁ + x₂ = -b/a = -5
x₁ . x₂ = c/a = -3

Persamaan kuadrat baru yg akar-akarnya:
α = 1/x₁
β = 1/x₂

x² - (1/x₁ + 1/x₂)x + 1/x₁x₂ = 0
x² - ((x₁ + x₂)/x₁x₂) + 1/x₁x₂ = 0
x² - ((-5)/(-3))x + 1/(-3) = 0
x² - (5/3)x - 1/3 = 0
3x² - 5x - 3 = 0

Soal No.5

---

Nyatakan persamaan 3(x² + 1) = x(x − 3) dalam bentuk umum persamaan kuadrat ?

Pembahasan

Persamaan kuadrat adalah persamaan dengan variabel berpangkat maksimal 2 dengan bentuk umum persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0.

3(x²+ 1) = x(x − 3)
3x² + 3 = x² - 3x
3x² - x² + 3x + 3 = 0
2x² + 3x + 3 = 0