Terkadang dalam suatu barisan aritmatika kita tidak menemukan selisih yang tetap antara suatu suku dengan suku sebelumnya pada barisan tingkat pertama, sehingga kita harus menganalisanya di tingkat dua.
Agar kita dapat memahami konsep barisan aritmatika bertingkat, kita harus memahami tentang barisan aritmatika biasa (tingkat satu) .
Barisan Aritmatika
Barisan aritmatika adalah suatu urutan bilangan yang memiliki nilai beda yang tepat.
Nilai beda itu adalah selisih dari suatu suku dengan suku sebelumnya. Misalnya kita mencari selisih suku ke-2 dengan suku ke-1 dan suku ke-3 dengan suku ke-2. Maka selisih suku ke-2 dengan suku ke-1 harus sama nilainya dengan suku ke-3 dengan suku ke-2.
Contoh
1, 7 , 13, 19, 25
Barisan di atas terdiri lima suku, yaitu :
- U1 = 1
- U2 = 7
- U3 = 13
- U4 = 19
- U5 = 25
Maka nilai beda dari barisan di atas dapat kita cari dengan mengurangkan antara suatu suku dengan suku sebelumnya, sehingga kita bisa dapatkan :
- Misal kita cari selisih suku ke-2 dengan ke-1 dimana :
U2 - U1 = 7 - 1 = 6 - Misal kita cari selisih sukue ke-3 dengan ke-2 dimana :
U3 - U2 = 13 - 7 = 6 - Misal kita cari selisih sukue ke-4 dengan ke-3 dimana :
U4 - U3 = 19 - 13 = 6 - Misal kita cari selisih sukue ke-5 dengan ke-4 dimana :
U5 - U4 = 25 - 19 = 6
Jika kita perhatikan selisih antara suatu suku dengan suku sebelumnya adalah tetap nilainya, yaitu bernilai 6. Nah karena nilai bedanya tetap, maka barisan di atas adalah barisan aritmatika.
Sedangkan rumus untuk mencari nilai suku ke-n, kita gunakan rumus :
Un = a + (n - 1)b
Keterangan:
Keterangan:
- Un = suku ke-n
- a = suku pertama
- b = nilai beda
- n = banyaknya suku
Untuk pembahasan lebih lanjut dan contoh soalnya, kunjungilah tutorial berikut ini :
Pengertian, Rumus dan Contoh Soal Barisan Aritmatika
Barisan Aritmatika Bertingkat
Barisan aritmatika bertingkat adalah suatu urutan bilangan yang nilai bedanya tidak langsung ditemukan pada barisan tingkat pertama seperti contoh di atas. Sehingga kita harus mendapatkan nilai beda yang tetap pada tingkat (level) berikutnya.Misalkan kita memiliki suatu barisan bilangan (lihat gambar di bawah), kemudian kita mencari selisih antara suatu suku dengan suku sebelumnya. Tetapi selesihnya tidak sama antara satu suku dengan lainnya, maka hasil dari selisih tersebut kita anggap sebagai barisan baru tingkat dua. Lalu kita ulangi dalam mencari nilai bedanya dengan cara mencari selisih antara suatu suku dengan suku sebelumnya.
Apabila hasil dari selisih tersebut bernilai sama, maka kita telah temukan nilai beda yang tetap dan otomatis barisan tersebut sudah memenuhi syarat sebagai barisan aritmatika.
Barisan aritmatika di atas tersebut disebut barisan aritmatika bertingkat dimana ditemukan nilai beda yang tetap di tingkat dua dimana nilai bedanya adalah 4.
Rumus untuk mencari suku ke-n pada suatu barisan aritmatika bertingkat adalah :
Un = a +
(n - 1)
1!
b +
(n - 1)(n - 2)
2!
c +
(n - 1)(n - 2)(n - 3)
3!
d + dst
Karena barisan di atas adalah barisan aritmatika tingkat dua maka rumusnya adalah :
Un = a +
(n - 1)
1!
b +
(n - 1)(n - 2)
2!
c
Contoh Soal
Tabel di bawah ini menunjukkan pertumbuhan tinggi tanaman karena pengaruh pemberian suatu pupuk organik.
| Bulan ke- | Tinggi tanaman (cm) |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 8 |
| 3 | 18 |
| 4 | 31 |
Tinggi tanaman tersebut pada bulan ke-10 adalah ....
A. 107 cm
B. 121 cm
C. 172 cm
D. 180 cm
Pembahasan
Tinggi tanaman (cm) dapat kita uraikan dalam bentuk suku-suku yaitu :
Jika kita tulis dalam bentuk barisan dan kita cari nilai beda yang tetap maka akan kita dapatkan pada barisan aritmatika tingkat dua seperti gambar berikut ini :
Lalu kita masukkan ke dalam rumus seperti berikut :
Dengan demikian tinggi tanaman pada bulan ke-10 adalah 172 cm
Jawab : C
- U1 = 1
- U2 = 8
- U3 = 18
- U4 = 31
Jika kita tulis dalam bentuk barisan dan kita cari nilai beda yang tetap maka akan kita dapatkan pada barisan aritmatika tingkat dua seperti gambar berikut ini :
Lalu kita masukkan ke dalam rumus seperti berikut :
Dengan demikian tinggi tanaman pada bulan ke-10 adalah 172 cm
Jawab : C
Anda dapat menemukan pembahasan secara visual tentang rumus dan contoh soal barisan aritmatika bertingkat pada video berikut ini :