Nah beranjak dari sering munculnya soal-soal tentang Persamaan Kuadrat, maka memahami variasi soalnya merupakan suatu upaya yang bagus bagi kita ketikan nantinya menghadapi ujian yang berhadapan dengan materi Persamaan Kuadrat.
Mencari Akar-Akar Persamaan Kuadarat
Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah :ax2 + bx + c = 0 ,a≠0
Dari persamaan kuadrat tersebut terdapat tiga cara dalam mencari akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut,yaitu :
Jumlah, Selisih dan Hasil Kali Akar-Akar
Kita dapat mencari penjumlahan, selisih ataupun perkalian akar-akar dari persamaan ax2 + bx + c = 0 tanpa mengetahui nilai dari akar-akarnya terlebih dahulu. Berikut ini adalah rumus dalam mencari jumlah, selisih dan hasil kali akar-akar :
1. Jumlah Akar : x1 + x2 =
2. Perkalian Akar : x1 . x2 =
3. Selisih Akar : |x1-x2| =
-b
a
2. Perkalian Akar : x1 . x2 =
c
a
3. Selisih Akar : |x1-x2| =
√D
|a|
Bagi anda yang berkeinginan mereview teori-teori lainteori tentang "Persamaan Kuadrat", dapat mengunjungi artikel yang berjudul :
"Rumus Diskrimina, Sifat-sifat dan Bentuk Simetris Akar Persamaan Kuadrat"
Contoh Soal Persamaan Kuadrat
Soal No.1Jika sebuah persamaan kuadrat x2 - 3x + 2. Maka nilai a, b dan c adalah :
A. 1, -3, 2
B. 1, 3, 2
C. 1, -3, -2
D. 1, 3, -2
Pembahasan
Seperti yang kita ketahui, Bentuk umum persamaan kuadrat yaitu
Dari persamaan : x2 - 3x + 2, maka dapat kita simpulkan bahwa : a = 1, b = -3 dan c = 2
Jawab : A
y = ax2 + bx + c dengan a ≠ 0 dan a merupakan koefisien dari x2, b merupakan koefisien dari x, sedangkan c adalah koefisien konstanta atau biasa disebut juga suku bebas.Dari persamaan : x2 - 3x + 2, maka dapat kita simpulkan bahwa : a = 1, b = -3 dan c = 2
Jawab : A
Soal No.2
Jika sebuah persamaan kuadrat x2 - 6. Maka nilai a, b dan c adalah :
A. 1, -6, 1
B. 1, -6, 0
C. 1, 0, -6
D. 1, 0, 6
Pembahasan
Ingat, persamaan kuadrat secara umum :
Dengan demikian, dari persamaan kuadrat : x2 - 6, maka nilai a=1, b = 0 dan c = -6.
Jawab: C
y = ax2 + bx + c membolehkan b dan c diset 0, namun tidak berlaku untuk a. Sehingga terkadang kita akan mendapat persamaan kuadrat seperti :
y = ax2 + bx atau y = ax2 + c
Dengan demikian, dari persamaan kuadrat : x2 - 6, maka nilai a=1, b = 0 dan c = -6.
Jawab: C
Soal No.3
Jika Bentuk umum dari persamaan
x2 - 16 = 7(x - 4) adalah ax2 + bx + c = 0, maka nilai a, b, c secara berturut-turut adalah :A. 1, -7 dan 12
B. 1, 7 dan 12
C. 1, -16 dan 7
D. 1, 7 dan 20
Pembahasan
Terlebih dahulu ubahlah persamaan
⇔ x2 - 16 = 7(x - 4)
⇔ x2 - 16 = 7x - 28
⇔ x2 - 16 - 7x + 28
⇔ x2 - 7x + 12
Dengan demikian nilai a = 1, b = -7 dan c = 12
Jawab : A
x2 - 16 = 7(x - 4) kedalam bentuk ax2 + bx + c = 0⇔ x2 - 16 = 7(x - 4)
⇔ x2 - 16 = 7x - 28
⇔ x2 - 16 - 7x + 28
⇔ x2 - 7x + 12
Dengan demikian nilai a = 1, b = -7 dan c = 12
Jawab : A
Soal No.4
Jika Bentuk umum dari persamaan
(2x - 1)(x - 5) adalah ax2 + bx + c = 0, maka nilai a, b, c secara berturut-turut adalah :A. 2, 10 dan 6
B. 2, -11 dan 6
C. 2, 11 dan 7
D. 2, -11 dan -6
Pembahasan
Terlebih dahulu ubahlah persamaan
⇔ (2x - 1)(x - 5)
⇔ 2x2 - 10x - x + 6
⇔ 2x2 - 10x - x + 6
⇔ 2x2 - 11x + 6
Dengan demikian : nilai a = 2, b = -11 dan c = 6
Jawab : B
(2x - 1)(x - 5) kedalam bentuk ax2 + bx + c = 0⇔ (2x - 1)(x - 5)
⇔ 2x2 - 10x - x + 6
⇔ 2x2 - 10x - x + 6
⇔ 2x2 - 11x + 6
Dengan demikian : nilai a = 2, b = -11 dan c = 6
Jawab : B
Soal No.5
Jika Bentuk umum dari persamaan :
2
(x-1)
+
1
(x-2)
= 2
adalah ax2 + bx + c = 0, maka nilai a, b, c secara berturut-turut adalah :A. 2, -9 dan 9
B. 2, 9 dan 9
C. 2, 11 dan 9
D. 2, -11 dan 9
Pembahasan
Kedua ruas kita kalikan dengan (x – 1)(x – 2), dengan (x – 1)(x – 2) ≠ 0
⇔ 2(x – 2) + (x – 1) = 2(x – 1)(x – 2)
⇔ 2x – 4 + x – 1 = 2(x2 – 3x + 2)
⇔ 3x – 5 = 2x2 – 6x + 4
⇔ 2x2 – 9x + 9 = 0
Dengan demikian : nilai a = 2, b = –9 dan c = 9
Jawab : A
⇔ 2(x – 2) + (x – 1) = 2(x – 1)(x – 2)
⇔ 2x – 4 + x – 1 = 2(x2 – 3x + 2)
⇔ 3x – 5 = 2x2 – 6x + 4
⇔ 2x2 – 9x + 9 = 0
Dengan demikian : nilai a = 2, b = –9 dan c = 9
Jawab : A
Soal No.6
Himpunan penyelesaian dari persamaan x2 + 5x + 6 adalah :
A. {-2, 3}
B. {-2, -3}
C. {2, 3}
D. {3, -2}
Pembahasan
Dalam hal ini Himpunan penyelesaian adalah akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut. Dalam mencari himpunan penyelesaiannya terdapat tiga cara, yaitu :
Untuk soal diatas, kita menggunakan mengfaktorkan , yaitu :
⇔ x2 + 5x + 6 = 0
⇔ (x + 2)(x + 3) = 0
⇔ x1 = -2 atau x2 = -3
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah : {-2, -3}
Jawab : B
- Dengan mengfaktorkan
- Dengan Melengkapi Kuadrat
- Dengan menggunakan rumus ABC
"Tiga Metode Penyelesaian Persamaan Kuadrat"
Untuk soal diatas, kita menggunakan mengfaktorkan , yaitu :
⇔ x2 + 5x + 6 = 0
⇔ (x + 2)(x + 3) = 0
⇔ x1 = -2 atau x2 = -3
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah : {-2, -3}
Jawab : B
Soal No.7
Akar-akar dari persamaan kuadrat x² − 6x + 9 = 0 adalah :
A. x1 = 3 dan x2 = 3
B. x1 = 3 dan x2 = -3
C. x1 = -3 dan x2 = -3
D. x1 = -3 dan x2 = 3
Pembahasan
Dalam pembahasan kali ini kita akan menggunakan Rumus ABC. Dari persamaan : x² − 6x + 9 = 0, didapatkan nilai a = 1, b = -6 dan c = 9
Sehingga akar pertamanya
Sedangkan untuk nilai akar keduanya adalah :
Jawab : A
Sehingga akar pertamanya
x1 =
−(−6) - √(−6)2 - 4(1)(9)
2(1)
x1 =
6 - √36 - 36
2
x1 =
6 - 0
2
x1 =
6
2
x1 = 3
Sedangkan untuk nilai akar keduanya adalah :
x2 =
−(−6) + √(−6)2 - 4(1)(9)
2(1)
x2 =
6 + √36 - 36
2
x2 =
6 + 0
2
x2 =
6
2
x2 = 3
Dengan demikian , kita dapatkan x1 = 3 dan x2 = 3Jawab : A
Soal No.8
Terdapat salah satu akar dari persamaan kuadrat x2 + 2x + c = 0 adalah 3, maka akar lainnya adalah ....
A. x = -5
B. x = 5
C. x = 3
D. x = 15
Pembahasan
Substitusi nilai x = 3 ke dalam persamaan :
⇔ x2 + 2x + c = 0
⇔ 32 + 2.3 + c = 0
⇔ 9 + 6 + c = 0
⇔ c = -15
Kemudian kita masukkan nilai c nya :
⇔ x2 + 2x + c = 0
⇔ x2 + 2x + -15 = 0
Tahap berikutnya kita faktorkan untuk mendapatkan akar-akarnya :
⇔ x2 + 2x - 15 = 0
⇔ (x + 5)(x - 3) = 0
⇔ x = -5 atau x = 3
Jawab : A
⇔ x2 + 2x + c = 0
⇔ 32 + 2.3 + c = 0
⇔ 9 + 6 + c = 0
⇔ c = -15
Kemudian kita masukkan nilai c nya :
⇔ x2 + 2x + c = 0
⇔ x2 + 2x + -15 = 0
Tahap berikutnya kita faktorkan untuk mendapatkan akar-akarnya :
⇔ x2 + 2x - 15 = 0
⇔ (x + 5)(x - 3) = 0
⇔ x = -5 atau x = 3
Jawab : A
Soal No.9
Nilai determinan dari x2 + 7x + 12 = 0 adalah....
A. 1
B. 2
C. 3
D. 11
Pembahasan
Jika diberi persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 , maka cara mencari diskriminannya adalah :
Dengan demikian kita dapat cari determinannya :
Jawab : A
D = b2 - 4ac
Dimana :
D = Nilai Diskriminan
b = koefisien dari x >
a = koefisien dari x2
c = konstanta
Dengan demikian kita dapat cari determinannya :
Dari persamaan x2 + 7x + 12 = 0, didapatkan :
nilai a = 1
nilai b = 7
nilai c = 12
D = 72 - 4(1)(12)
D = 49 - 48
D = 1Jawab : A
Soal No.10
Nilai determinan dari 2x2 - 5x - 3 = 0 adalah ....
A. 49
B. 29
C. 39
D. 19
Pembahasan
Dari persamaan 2x2 - 5x - 3 = 0, didapatkan :
nilai a = 2
nilai b = -5
nilai c = -3
D = 52 - 4(2)(-3)
D = 25 + 24
D = 49
Jawab : A
nilai a = 2
nilai b = -5
nilai c = -3
D = 52 - 4(2)(-3)
D = 25 + 24
D = 49
Jawab : A
Soal No.11
Jika akar-akar persamaan x2 - 3x - 10 = 0 adalah x1 dan x2, maka hasil penjumlahan dari x1 + x2 adalah ....
A. x1 + x2 = 3
B. x1 + x2 = 5
C. x1 + x2 = -3
D. x1 + x2 = 13
Pembahasan
Dengan metode pemfaktoran
⇔ x2 - 3x - 10 = 0
⇔ (x + 2)(x - 5) = 0
⇔ x1 = -2 dan x2 = 5
Jumlah akar-akarnya adalah :
⇔ x1 + x2 = -2 + 5
⇔ x1 + x2 = 3
Dengan menggunakan rumus Untuk mencari penjumlah, pengurangan akar dan perkalian dari akar-akarnya, kita dapat menggunakan rumus :
Dengan demikian, jumlah akar-akarnya dapat kita cari dengan rumus sbb :
x1 + x2 = -
x1 + x2 = -
Jawab : A
⇔ x2 - 3x - 10 = 0
⇔ (x + 2)(x - 5) = 0
⇔ x1 = -2 dan x2 = 5
Jumlah akar-akarnya adalah :
⇔ x1 + x2 = -2 + 5
⇔ x1 + x2 = 3
Dengan menggunakan rumus Untuk mencari penjumlah, pengurangan akar dan perkalian dari akar-akarnya, kita dapat menggunakan rumus :
1.Jumlah Akar : x1 + x2 =
-b
a
2.Perkalian Akar : x1 . x2=
c
a
3.Selisih Akar : |x1-x2|=
√D
|a|
Untuk penjelesan lebih lengkapnya, silahkan kunjungi artikel dengan judul : Latihan Soal Sifat-Sifat Persamaan Kuadrat Dan Pembahasannya
Dengan demikian, jumlah akar-akarnya dapat kita cari dengan rumus sbb :
x1 + x2 = -
b
a
x1 + x2 = -
(-3)
1
= 3Jawab : A
Soal No.12
Jika diketahui suatu persamaan kuadrat: x2 + 5x - 6 = 0 yang memiliki akar x1 dan x2. Maka hasil dari penjumlah kedua akar tersebut (x1 + x2) adalah ...
A. 5
B. -5
C. 7
D. 15
Pembahasan
Dari persamaan x2 + 5x - 6 = 0, kita dapatkan :
a = 1, b = 5 dan c = -6
x1 + x2 = -
x1 + x2 = -
Jawab : B
a = 1, b = 5 dan c = -6
x1 + x2 = -
b
a
x1 + x2 = -
5
1
= -5Jawab : B
Soal No.13
Suatu persamaan kuadrat 2x2 - 12x + 6 = 0 memiliki akar-akar p dan q. Maka nilai perkalian akar-akarnya (p . q) adalah .....
A. 3
B. 6
C. -3
D. -2
Pembahasan
Dari persamaan 2x2 - 12x + 6 = 0, kita dapatkan :
a = 2, b = -12 dan c = 6
x1 . x2 =
maka :
p . q =
p . q =
Jawab : A
a = 2, b = -12 dan c = 6
x1 . x2 =
c
a
maka :
p . q =
c
a
p . q =
6
2
= 3Jawab : A
Soal No.14
Jika persamaan ax2 - 4x + 10 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2 dengan x1 . x2 = 5, maka x1 + x2 = .....
A. -8
B. -4
C. -2
D. 2
Pembahasan
Dari persamaan : ax2 - 4x + 10 = 0 , kita dapatkan a=a, b=-4 dan c=10. Yang belum diketahui cuma nilai a, untuk itu kita perlu cari nilai "a" nya.
⇔ x1 . x2 = 5
⇔
⇔ 10 = 5a
⇔ a =
x1 + x2 = -
x1 + x2 = -
Jawab : D
⇔ x1 . x2 = 5
⇔
10
a
= 5⇔ 10 = 5a
⇔ a =
10
5
= 2x1 + x2 = -
b
a
x1 + x2 = -
(-4)
2
= 2Jawab : D
Soal No.15
Salah satu akar persamaan 2x² - x - 4 = 0 adalah p. Maka nilai 4p⁴ - 4p³ + 3p² - p = ......?
A. 8
B. 12
C. 16
D. 20
Pembahasan
⇔ 2x² - x - 4 = 0
⇔ 2p² - p = 4
⇔ 2p² - p = 4 (Hasil 1)
Dari soal diketahui : 4p⁴ - 4p³ + 3p² - p, dapat kita faktorkan menjadi :
⇔ 4p⁴ - 4p³ + 3p² - p
⇔ (2p² - p)² + (2p² - p)
⇔ (4)² + (4)
⇔ 20
Maka :4p⁴ - 4p³ + 3p² - p = 20
Jawab : D
⇔ 2p² - p = 4
⇔ 2p² - p = 4 (Hasil 1)
Dari soal diketahui : 4p⁴ - 4p³ + 3p² - p, dapat kita faktorkan menjadi :
⇔ 4p⁴ - 4p³ + 3p² - p
⇔ (2p² - p)² + (2p² - p)
⇔ (4)² + (4)
⇔ 20
Maka :4p⁴ - 4p³ + 3p² - p = 20
Jawab : D