Jika pada tutorial sebelumnya kita telah membahas tentang persamaan linear baik satu variabel maupun dua variabel, maka dalam tutorial ini kita lanjutkan dengan persamaan kuadrat.
Apa itu Persamaan Kuadrat ?
Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial berorde dua. Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah:ax² + bx + c = 0
dimana :a ≠ 0
a, b dan c adalah bilangan realPada 1637, René Descartes yang berkebangsaan perancis menerbitkan La Géometrie yang berisi rumus penyelesaian persamaan kuadrat seperti yang kita gunakan sekarang ini setelah menyempurnakan dari penemu sebelumnya. Jadi bisa dikatakan René Descartes yang menemukan persamaan kuadrat pada tahun 1637 seperti yang kita gunakan sekarang ini.
Tiga Metode Penyelesaian Persamaan Kuadarat
Untuk mencari akar-akar dari suatu persamaan kuadrat, kita dapat menyelesaikannya dengan tiga cara, yaitu :- Memfaktorkan
- Melengkapkan bentuk kuadrat
- Rumus ABC
Penyelesaian Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan
Persamaan Kuadarat :ax² + bx + c = 0, dapat difaktorkan menjadi :
a (x – x1) (x – x2) = 0.
Nilai x1 dan x2 disebut akar-akar (penyelesaian)
persamaan kuadrat.Contoh.1
Carilah akar-akar dari persamaan kuadarat : x2 + 12x + 32 = 0
Jawab :
x2 + 12x + 32 = 0
(x + 4) (x + 8) = 0
x + 4 = 0 atau x + 8 =0
x = -4 atau x = -8Contoh.2
Carilah akar-akar dari persamaan kuadarat x2 – 4 x + 3 = 0
Jawab
x2 – 4 x + 3 = 0
(x – 3) (x – 1) = 0
x – 3 = 0 atau x – 1 = 0
x = 3 atau x = 1Contoh.3
Carilah akar-akar dari persamaan kuadarat 2x2 - 5 x - 3 = 0
Jawab
2x2- 5x - 3 = 0
(2x – 1) (x + 3) =0
(2x-1)=0 atau (x-3)=0Penyelesaian Persamaan Kuadrat dengan Melengkapi Kuadrat
Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi (x + p)2 = q.Langkah-langkah untuk mencari akar persamaan kuadrat dalam bentuk umum dengan cara melengkapkan bentuk kuadrat.
| Persamaan asli (dalam bentuk umum) | ax² + bx + c = 0 |
|---|---|
| Langkah ke-1. Bagi persamaan dengan a agar koefisien dari x² menjadi 1 | x² + bx/a + c/a = 0 |
| Langkah ke-2. Pindahkan konstanta-konstanta ke sebelah kanan persamaan | x² + bx/a = −c/a |
| Langkah ke-3. Tambahkan (b/2a)² ke kedua sisi dari persamaan | x² + bx/a + (b/2a)² = −c/a + (b/2a)² |
| Langkah ke-4. Sekarang kita bisa menulis sisi sebelah kiri dari persamaan sebagai bentuk kuadrat sempurna. | (x + b/2a)² = −c/a + (b/2a)² |
| Langkah ke-5. Ambil akar kuadrat dari kedua sisi persamaan | √(x + b/2a)² = ± √(c/a + (b/2a)²) x + b/2a = ± √(c/a + (b/2a)²) |
| Langkah ke-6. Pindahkan konstanta yang di sebelah kiri ke sebelah kanan persamaan, lalu hitung nilai x | x = −b/2a ± √(c/a + (b/2a)²) |
Contoh.1
Carilah akar-akar dari persamaan : x2 – 6 x + 5 = 0.
Jawab:
Langkah.1.
Karena persamaaan x2 – 6 x + 5 = 0 memiliki a =1, maka langkah 1 dapat kita lewati
Langkah ke-2. Pindahkan konstanta ke sebelah kanan
x2 – 6 x = -5
Langkah ke.3. Tambahkan (b/2a)² ke kedua sisi dari persamaan
x2 – 6 x + (-6/2)² = -5 + (-6/2)²
x2 – 6 x + 9 = -5 +9
x2 – 6 x + 9 = 4
Langkah ke-4. Ubah bentuk sebelah kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna
x2 – 6 x + 9 = 4
(x – 3)2 = 4
Langkah ke-5. Cari akar kuadratnya
√(x-3) = 4
(x-3) = ±2x – 3 = 2 atau x – 3 = –2
x = 5 atau x = 1
Jadi akar-akar dari x2 – 6 x + 5 = 0 adalah 1 dan 5
Contoh.2
Carilah akar-akar dari persamaan : 4x2 – 8 x - 5 = 0.
Jawab:
Langkah.1. Jadikan persamaan koefisien dari x² menjadi 1
Langkah ke-2. Pindahkan konstanta ke sebelah kananLangkah ke.3. Tambahkan (b/2a)² ke kedua sisi dari persamaanx2 – 2 x + 1 = 5/4 + 1
x2 – 2 x + 1= 9/4
Langkah ke-4. Ubah bentuk sebelah kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna(x – 1)2 = 9/4
Langkah ke-5. Cari akar kuadratnya
√(x-1) = 9/4
(x-1) = ±3/2x – 1 = 3/2 atau x – 1 = -3/2
x = 5/2 atau x = -1/2
Jadi akar-akar dari 4x2 – 8 x - 5 = 0 adalah 5/2 dan -1/2.
Penyelesaian Persamaan Kuadrat dengan Rumus ABC
Penyelesaian persamaan kuadrat dengan rumus ABC menggunakan rumus sebagai berikut:
Contoh.1
Carilah akar-akar dari persamaan kuadrat x² − 6x + 9 = 0
Jawab:
Dari persamaan : x² − 6x + 9 = 0, didapatkan nilai a = 1, b = -6 dan c = 9
Sehingga akar pertamanya
Sedangkan untuk nilai akar keduanya adalah :
Referensi
1. https://www.idomaths.com/id/melengkapkan_kuadrat.php
2.https://www.cgsd.org/site/handlers/filedownload.ashx?moduleinstanceid=293&dataid=1512&FileName=SMP08ALG-NA-TE2-C13-L04-13.pdf
x1 =
−b - √b2 - 4ac
2a
x2 =
−b + √b2 - 4ac
2a
Contoh.1
Carilah akar-akar dari persamaan kuadrat x² − 6x + 9 = 0
Jawab:
Dari persamaan : x² − 6x + 9 = 0, didapatkan nilai a = 1, b = -6 dan c = 9
Sehingga akar pertamanya
x1 =
−(−6) - √(−6)2 - 4(1)(9)
2(1)
x1 =
6 - √36 - 36
2
x1 =
6 - 0
2
x1 =
6
2
x1 = 3
Sedangkan untuk nilai akar keduanya adalah :
x2 =
−(−6) + √(−6)2 - 4(1)(9)
2(1)
x2 =
6 + √36 - 36
2
x2 =
6 + 0
2
x2 =
6
2
x2 = 3
Persamaan kuadrat ini hanya memiliki 1 akar, karena x1 = x2, yaitu : 3Referensi
1. https://www.idomaths.com/id/melengkapkan_kuadrat.php