Latihan Soal Sifat-Sifat Persamaan Kuadrat dan Pembahasannya

Serba Definisi dalam mata pelajaran Matematika kali ini akan mengfokuskan topik tentang sifat-sifat dari persamaan kuadrat.

Jika pada pembahasan matematika sebelumnya, kita telah menyinggung tentang tiga cara atau metode penyelesaian persamaan kuadrat, maka fokus kita sekarang ini lebih menitikberatkan tentang sifat-sifat dari persamaan kuadrat yang diserta dengan latihan soal dan pembahasannya.

Rumus Diskriminan Persamaan Kuadrat

Jika diberi persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 , maka cara mencari diskriminannya adalah :

D = b2 - 4ac
Dimana :
D = Nilai Diskriminan 
b = koefisien dari x >
a = koefisien dari x2
c = konstanta

Contoh.1
Carilah nilai determinan dari x² + 7x + 12 = 0

Jawab :

Dari persamaan  x2 + 7x + 12 = 0, didapatkan :
nilai a = 1
nilai b = 7
nilai c = 12
D = 72 - 4(1)(12)
D = 49 - 48
D = 1

Contoh.2
Carilah nilai determinan dari x² + 5x - 6 = 0

Jawab :

Dari persamaan x2 + 5x - 6 = 0, didapatkan :
nilai a = 1
nilai b = 5
nilai c = -6
D = 52 - 4(1)(-6)
D = 25 + 24
D = 49

Contoh.3
Carilah nilai determinan dari 2x² - 5x - 3= 0

Jawab :

Dari persamaan 2x2 - 5x - 3 = 0, didapatkan :
nilai a = 2
nilai b = -5
nilai c = -3
D = 52 - 4(2)(-3)
D = 25 + 24
D = 49

Sifat-Sifat Akar Persamaan Kuadrat

Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dengan D>0, maka berlaku:

1.Jumlah Akar : x1 + x2= 
      -b
      a

2.Perkalian Akar : x1 . x2= 
      c
      a

3.Selisih Akar : |x1-x2|= 
      √D
      |a|

Contoh.1
Jika diketahui suatu persamaan kuadrat: x² + 5x - 6 = 0, tentukan nilai dari :
a. Jumlah Akar
b. Perkalian Akar
c. Selisih Akar

Jawab :

a. Jumlah Akar

x1 + x2 = 
      -b
      a

x1 + x2 = 
      -5
      1
= -5


b. Selisih Akar

x1.x2 = 
      c
      a

 x1.x2 = 
      -(-6)
      1
= 6


c. Perkalian Akar

|x1-x2| = 
      √D
      |a|

|x1-x2| = 
      √(b2 - 4ac)
      |a|

|x1-x2| = 
      √{(5)2-4(1)(-6)}
      1

|x1-x2| = 
      √49
      1
= 7

Bentuk-Bentuk Simetris Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Suatu bentuk aljabar disebut simetris, seperti x² + y², jika x dan y dipertukarkan tempatnya menjadi y² + x², maka nilainya sama dengan bentuk semula.

Dalam hal ini kita merubah bentuk yang diberikan menjadi bentuk (x₁+x₂) atau (x₁.x₂)

1. Jumlah Kuadrat
   x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² – 2(x₁.x₂)
2. Selisih Kuadrat
   x₁² – x₂² = (x₁ + x₂) (x₁ – x₂)
3. Kuadrat Selisih
   (x₁ – x₂)² = (x₁ + x₂)² – 4x₁.x₂
4. Jumlah Pangkat Tiga
   x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³ – 3(x₁.x₂) – (x₁ + x₂)
5. Selisih Pangkat Tiga
   x₁³ – x₂³ = (x₁ + x₂)³ + 3(x₁.x₂) – (x₁ + x₂)
6. Jumlah Kebalikan
   1 x1 + 1 x1 = x₁ + x₂ x₁.x₂

Contoh.1
Jika diketahui suatu persamaan kuadrat: x² + 5x - 6 = 0, tentukan nilai dari :
a. x₁² + x₂²
b. x₁³ + x₂³
c. 1 x1 + 1 x1

Jawab:
Dari x² + 5x - 6 = 0, didapat nilai:
x1 + x2 = -b a = -5 1 = -5
x1.x2 = c a = -(-6) 1 = 6

Dengan demikian kita dapat mencari :
a. x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² – 2(x₁.x₂)
    x₁² + x₂² = (-5)² - 6
    x₁² + x₂² = 19

b. x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³ – 3(x₁.x₂) – (x₁ + x₂)
    x₁³ + x₂³ = (-5)³ - 3(6) - (-5)
    x₁³ + x₂³ = 125 - 28 + 5
    x₁³ + x₂³ = 112


c. 1 x1 + 1 x1 = x₁ + x₂ x₁.x₂
    1 x1 + 1 x1 = -5 6