Jika sebelumnya kita telah mengenal yang namanya eksponen atau nama lainnya adalah pemangkatan, maka Logaritma ini sering disebut sebagai invers (kebalikan) dari pemangkatan.
Teori tentang "Logaritma" pertama kali diperkenalkan oleh Ilmuwan yang bernama John Napier yang lahir pada tahun 1550 di dekat Edinburgh, Skotlandia. Penggunaan konsep Logaritma dapat diterapkan dalam berbagai disiplin ilmu, seperti : perhitungan bunga bank, laju pertumbuhan bakteri dan dapat juga untuk menentukan umur sebuah fosil.
Bentuk Umum Logaritma
Jika x = an maka alog x = n, dan sebaliknya jika alog x = n maka x = an. Hubungan antara bilangan berpangkat dan logaritma dapat dinyatakan sebagai berikut:
alog x = n ⇔ x = an
Dimana:
- a = bilangan pokok atau basis, a>0 ; a ≠1
- x = yang dicari nilai logaritmanya, x>1
- n = hasil logaritma
| Perpangkatan | Logaritma |
|---|---|
| 21 = 2 | 2log 2 = 1 |
| 20 = 1 | 2log 1 = 0 |
| 23 = 8 | 2log 8 = 3 |
| 103 = 1000 | log 1000 = 3 |
| 53 = 125 | 5log 1000 = 3 |
Sifat-Sifat Logaritma
Jika a > 0, a ≠ 1, m ≠ 1, b > 0 dan c > 0, maka berlaku :- alog a = 1
- alog 1 = 0
- alog (b x c) = alog b + alog c
- alog (b c) = alog b - alog c
- alog bn = n x alog b
- alog b = nlog b nlog a
- alog b = 1 blog a
- alog b x blog c = alog c
- anlog bm = m nx alog b
- anlog bn = alog b
- aalog b = b
- alog (b c) = - alog (c b)
Latihan Soal Logaritma
Soal No.1Hitunglah nilai dari logaritma dibawah ini :
9log 135 - 9log 5
Pembahasan
9log 135 - 9log 5
⇔ 9log (
⇔ 9log 27
⇔ 32log 33 =
⇔ 9log (
135
5
)
⇔ 9log 27
⇔ 32log 33 =
3
2
x 3log 3 =
3
2
Soal No.2
Hitunglah nilai dari logaritma dibawah ini :
a. 2log 4 + 2log 8
b. 2log 2√2 + 2log 4√2
Pembahasan
a. 2log 4 + 2log 8
⇔ 2log 4.8
⇔ 2log 32 = 5
b. 2log 2√2 + 2log 4√2
⇔ 2log 2√2 x 4√2
⇔ 2log 16 = 4
⇔ 2log 4.8
⇔ 2log 32 = 5
b. 2log 2√2 + 2log 4√2
⇔ 2log 2√2 x 4√2
⇔ 2log 16 = 4
Soal No.3
Hitunglah nilai dari logaritma berikut ini :
3 + log(log x)
3.log(log x1000)
Pembahasan
3 + log(log x)
3 . log(log x1000)
⇔
log 103 + log(log x)
3 . log(1000 . log x)
⇔
log (1000 . log x)
3 . log(1000 . log x)
=
1
3
Soal No.4
Hitunglah nilai logaritma dibawah ini :
a. 2log 5 x 5log 64
b. 2log 25 x 5log 3 x 3log 32
Pembahasan
a. 2log 5 x 5log 64
⇔ 2log 64
⇔ 2log 26 = 6
b. 2log 25 x 5log 3 x 3log 32
⇔ 2log 52 x 5log 3 x 3log 25
⇔ 2 . 2log 5 x 5log 3 x 5 . 3log 2
⇔ 2 x 5 x 2log 5 x 5log 3 x 3log 2
⇔ 10 x 2log 2 = 10 x 1 = 10
⇔ 2log 64
⇔ 2log 26 = 6
b. 2log 25 x 5log 3 x 3log 32
⇔ 2log 52 x 5log 3 x 3log 25
⇔ 2 . 2log 5 x 5log 3 x 5 . 3log 2
⇔ 2 x 5 x 2log 5 x 5log 3 x 3log 2
⇔ 10 x 2log 2 = 10 x 1 = 10
Soal No.5
Berapakah nilai dari log 25 + log 5 + log 80 ?
Pembahasan
log 25 + log 5 + log 80
⇔ log (25 x 5 x 80)
⇔ log 10000
⇔ log 104 = 4
⇔ log (25 x 5 x 80)
⇔ log 10000
⇔ log 104 = 4
Soal No.6
Jika diketahui 2log 7 = a dan 2log 3 = b. Maka berapakah nilai dari 6log 14 ?
Pembahasan
2log 7 = a
⇔
⇔ log 7 = a.log 2
2log 3 = b
⇔
⇔ log 3 = b.log 2
6log 14 =
⇔
⇔
log 7
log 2
= a
⇔ log 7 = a.log 2
2log 3 = b
⇔
log 3
log 2
= b ⇔ log 3 = b.log 2
6log 14 =
log 14
log 6
⇔
log 2 . 7
log 2 . 3
=
log 2 + log 7
log 2 + log 3
=
log 2 + a log 2
log 2 + b log 2
=
log 2(1 + a)
log 2(1 + b)
=
(1 + a)
(1 + b)
Soal No.7
Jika nilai log 2 = a dan log 4 = b. Carilah nilai dari logaritma :
a. log 32
b. log 800
Pembahasan
a. log 32 = log (2 x 42)
⇔ log 2 + log 42
⇔ a + 2b
b. log 800 = log (2 x 4 x 100)
⇔ log 2 + log 4 + log 100
⇔ a + b + 2
Soal No.8
Jika diketahui log 3 = 0,332 dan log 2 = 0,225. Dengan demikian nilai dari log 18 adalah ...
A. 0,880
B. 0,889
C. 0,156
D. 0,778
Pembahasan
log 18 = log (9 x 2)
log 18 = log 9 + log 2
log 18 = log 32 + 0,225
log 18 = 2 log 3 + 0,225
log 18 = 2(0,332) + 0,225
log 18 = 0,664 + 0,225
log 18 = 0,889
Jawab : B
log 18 = log 9 + log 2
log 18 = log 32 + 0,225
log 18 = 2 log 3 + 0,225
log 18 = 2(0,332) + 0,225
log 18 = 0,664 + 0,225
log 18 = 0,889
Jawab : B
Soal No.9
Jika diketahui 4log 3 = p, maka nilai dari 27log 8 adalah ....
A. 3p
B. 2p
C.
2
p
D.
1
2p
Pembahasan
Untuk 4log 3 = p
: ⇔4log 3 = p
⇔
⇔
⇔
⇔
Untuk 27log 8 :
⇔ 27log 8
⇔
⇔
⇔
3 log 2
3 log 3
⇔
⇔
Jawab : D
: ⇔4log 3 = p
⇔
log 3
log 4
= p⇔
log 3
log 22
= p⇔
log 3
2 log 2
= p⇔
log 3
log 2
= 2pUntuk 27log 8 :
⇔ 27log 8
⇔
log 8
log 27
⇔
log 23
log 33
⇔
⇔
log 2
log 3
=
1
(
log 3
log 2
)
⇔
log 2
log 3
=
1
2p
Jawab : D
Soal No.10
Nilai x yang memungkinan dari log x + log(x -1) = log(3x + 12) adalah ...
A. -2
B. 3
C. 12
D. 6
Pembahasan
log x + log(x -1) = log(3x + 12)
log(x(x - 1)) = log(3x + 12)
x(x - 1) = 3x + 12
x2 - x = 3x + 12
x2 - x - 3x - 12 = 0
x2 - 4x - 12 = 0
(x - 6)(x + 2) = 0
x = 6 dan x = -2
Masukan nilai x tersebut ke persamaan awalnya
Untuk x = 6
log x + log(x - 1) = log(3x + 12)
log 6 + log(6 -1) = log(3(6) + 12)
log 6 + log 5 = log 30
Untuk x = -2
log x + log(x - 1) = log(3x + 12)
log(-2) + log(-2-1) = log(3(-2) + 12)
Karena tidak ada log negatif...maka x = -2 tidak memenuhi syarat.
Jadi nilai x yang memungkinkan adalah x = 6
Jawab : D
log(x(x - 1)) = log(3x + 12)
x(x - 1) = 3x + 12
x2 - x = 3x + 12
x2 - x - 3x - 12 = 0
x2 - 4x - 12 = 0
(x - 6)(x + 2) = 0
x = 6 dan x = -2
Masukan nilai x tersebut ke persamaan awalnya
Untuk x = 6
log x + log(x - 1) = log(3x + 12)
log 6 + log(6 -1) = log(3(6) + 12)
log 6 + log 5 = log 30
Untuk x = -2
log x + log(x - 1) = log(3x + 12)
log(-2) + log(-2-1) = log(3(-2) + 12)
Karena tidak ada log negatif...maka x = -2 tidak memenuhi syarat.
Jadi nilai x yang memungkinkan adalah x = 6
Jawab : D
Soal No.11
Nilai dari 3log 9 + 3log 108 - 3log 4 + 3log 27 adalah....
A.
3
2
B. 5
C.
13
2
D. 9
Pembahasan
3log 9 + 3log 108 - 3log 4 + 9log 27
⇔ 3log 32 + 3log
⇔ 2 . 3log 3 + 3log 27 +
⇔ 2 . 1 + 3log 33 +
⇔ 2 + 3 . 3log 3 +
⇔ 2 + 3 . 1 +
⇔ 5 +
⇔ 5
Jawab : C
⇔ 3log 32 + 3log
108
4
+ 32log 33 ⇔ 2 . 3log 3 + 3log 27 +
3
2
3log 3 ⇔ 2 . 1 + 3log 33 +
3
2
. 1⇔ 2 + 3 . 3log 3 +
3
2
⇔ 2 + 3 . 1 +
3
2
⇔ 5 +
3
2
⇔ 5
3
2
=
13
2
Jawab : C
Soal No.12
Diketahui b = a4 dan nilai a serta b positif. Maka nilai alog b – blog a adalah ....?
A. 3 3/4
B. 2 3/4
C. 4 3/4
D. 3
Pembahasan
alog b – blog a = alog a4 – a4 log a
alog b – blog a = 4 (alog a) – 1/4( alog a)
alog b – blog a = 4 – 1/4
alog b – blog a = 33/4
Jawab : A
alog b – blog a = 4 (alog a) – 1/4( alog a)
alog b – blog a = 4 – 1/4
alog b – blog a = 33/4
Jawab : A
Soal No.13
Jika 2log 3 = a, maka 6log 8 = ....
A.
3
1 + a
B.
a
1 + a
C.
a + 3
a
D.
2a + 1
a
Pembahasan
6log 8 =
6log 8 =
6log 8 =
6log 8 =
Jawab : A
log 8
log 6
6log 8 =
2log 8
2log 6
6log 8 =
2log 23
2log 2 + 2log 3
6log 8 =
3
1 + a
Jawab : A
Soal No.14
Hasil
3log 25 x 5log 81 + 4log 2
3log 36 - 3log 4
adalah ...A.
13
4
B.
17
4
C.
9
2
D.
13
2
Pembahasan
3log 25 x 5log 81 + 4log 2
3log 36 - 3log 4
⇔
3log 52 x 5log 34 + 22log 2
3log
36
4
⇔
2.3log 5 x 4.5log 3 + 1/2.2log 2
3log 9
⇔
2.3log 5 x 4.
1
3log 5
+ 1/2
3log 32
⇔
2 x 4 +
1
2
2
⇔
8
1
2
2
⇔
17
4
Jawab : B
Soal No.15
Hasil dari 7log
1
343√2
adalah ...A. -
7
4
B.
3
2
C. -
7
2
D. -2
Pembahasan
7log
⇔ 7log
⇔ 7log
⇔ 7log
⇔ 7log 7 -7/2
⇔ -
⇔ -
⇔ -
Jawab : C
1
343√2
⇔ 7log
1
73 . 7½
⇔ 7log
1
73 + ½
⇔ 7log
1
77/2
⇔ 7log 7 -7/2
⇔ -
7
2
. 7log 7 ⇔ -
7
2
. 1⇔ -
7
2
Jawab : C
Demikianlah ulasan tentang sifatlogaritma dan rumus logaritma beserta contoh soal logaritma yang dilengkapi dengan langkah-langkah pembahasan secara detil.