Persoalan yang paling sering muncul atau ditanyakan adalah mencari suku ke-n dari suatu barisan, menentukan beda antar suku, menentukan banyaknya suku dan mencari nilai suku pertama.
Namun sebelum kita memasuki ke latihan soal, kita akan memahami terlebih dahulu apa itu barisan dan deret aritmatika. Karena selain barisan dan deret aritmatika, kita juga mengenal barisan dan deret geometri. Namun dalam pembahasan kali ini, fokus kita teteap pada barisan dan deret aritmatika.
Barisan dan Deret Aritmatika
Setelah diuraikan dalam penjelasan selanjutnya, diharapkan kita mengerti seperti apa barisan atau deret serta perbedaannya dan juga mengetahui maksud dari barisan dan deret aritmatika. Disamping itu kita dapat memahami yang mana dinamakan suku dan nilai beda.Apa itu Barisan ?
Barisan adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. Setiap bilangan dalam barisan merupakan suku dalam barisan.Contoh:
- 1, 2, 3, 4, 5,6,7 (Bilangan 1 adalah suku pertama, bilangan 2 adalah suku kedua dst)
- 2, 5, 8, 11, 14,17 (Bilangan 8 adalah suku ketiga, bilangan 17 adalah suku keenam).
- 14, 12, 10, 8, 6, 4, 2 (Bilangan 12 adalah suku kedua, bilangan 10 adalah suku ketiga dst).
Sehingga jelas bahwa barisan itu kumpulan bilangan yang memiliki pola tertentu, sedangkan bilangan-bilangan yang membentuk barisan dengan pola tertentu dinamakan suku. Ada yang bertindak sebagai suku pertama, kedua, ketiga dst.
Apa itu Deret ?
Penjumlahan suku-suku dari suatu barisan disebut deret. Jika U1,U2,U3,…..Un
maka : U1 + U2 + U3 +… +Un adalah deret.
maka : U1 + U2 + U3 +… +Un adalah deret.
Contoh :
1 + 2 + 3 + 4 +… + .Un
2 + 4 + 6 + 8 +… + .Un
Apa itu barisan Aritmatika ?
Barisan aritmatika adalah barisan yang memiliki nilai selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Selisih dua suku berurutan tersebut disebut nilai beda, disimbolkan dengan
Dalam barisan aritmatika, urutan perbedaan antara satu suku dengan suku berikutnya adalah konstan. Dengan kata lain, kita hanya menambahkan nilai yang sama setiap waktu.
Barisan tersebut memiliki nilai beda 3 antara satu suku dengan suku berikutnya.
Secara umum, kita dapat menulis barisan aritmatika tersebut :
b.Dalam barisan aritmatika, urutan perbedaan antara satu suku dengan suku berikutnya adalah konstan. Dengan kata lain, kita hanya menambahkan nilai yang sama setiap waktu.
Contoh:
| 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ... |
Secara umum, kita dapat menulis barisan aritmatika tersebut :
{a, a+b, a+2b, a+3b, ... }
dimana:
- a adalah suku pertama,
- b adalah nilai beda.
Rumus-Rumus Barisan Aritmatika
1. Untuk mencari Suku ke-n :
Un = a + (n - 1)b
dimana :
dimana :
- Un: suku ke-n
- a: suku pertama
- b: nilai beda
- n: banyak suku
2. Untuk mencari nilai beda :
b = Un-U(n-1)
dimana :
dimana :
- b adalah nilai beda
- Un: suku ke-n
3. Untuk mencari Suku Tengah
Kita dapat mencari suku tengah yang memiliki n suku ganjil (banyaknya sukunya ganjil) dimana diketahui suku pertama dan suku terakhir, maka digunakan rumus :
Ut =
a + Un
2
dimana :
dimana :
- Ut adalah suku tengah
- a adalah suku pertama
- Un adalah suku ke-n (dalam hal ini bertindak sebagai suku terakhir)
Namun jika untuk mencari suku tengah yang kondisinya hanya diketahui suku pertama, banyaknya n suku dan nilai beda, maka rumusnya:
Ut = a +
(n-1)b
2
dimana :
- Ut adalah suku tengah
- a adalah suku pertama
- n menyatakan banyaknya suku
- b menyatakan nilai beda
Apa itu Deret Aritmatika
Deret aritmatika adalah jumlah dari barisan aritmatika yang biasa ditandai dengan tanda plus (+).
Contoh :
- 2 + 4 + 6 + 8 + 10
- 3 + 6 + 9 + 12 + 15
Untuk mencari jumlah dari suatu deret aritmatika, digunakan rumus:
Sn =
n
2
(a+Un)
atau
Sn = n 2 (2a + (n-1)b) dimana :
atau
Sn = n 2 (2a + (n-1)b) dimana :
- Sn menyatakan jumlah suku ke-n
- a adalah suku pertama
- Un menyatakan nilai suku ke-n
- b menyatakan nilai beda
- n menyatakan banyaknya suku
Latihan Soal
Sebuah barisan aritmatika memiliki jumlah suku ganjil. Jika suku pertamanyanya 4 dan suku terakhirnya adalah 20, maka suku tengahnya adalah:
a. 12
b. 8
c. 10
d. 16
Pembahasan
a = 4
Un = 20
Ut= a + Un 2 = 20 + 4 2 = 12
Jawab : a
Un = 20
Ut= a + Un 2 = 20 + 4 2 = 12
Soal No.2
Terdapat sebuah barisan aritmatika sebanyak tujuh suku. Jika suku pertama dan nilai bedanya adalah 2. Berapakah suku tengahnya ?
a. 9
b. 8
c. 10
d. 12
Pembahasan:
a = 2
b = 2
n = 7
Ut= a + (n-1)b 2 Ut= a + (n-1)b 2 = 2 + (7-1)2
2
= 8
b = 2
n = 7
Ut= a + (n-1)b 2 Ut= a + (n-1)b 2 = 2 + (7-1)
Jawab : b
Soal No.3
Diketahui suatua barisan aritmatika :2, 5, 8, 11, 14, .........Un. Tentukan rumus suku ke-n dalam barisan aritmetika tersebut:
a. Un = 3n -1
a. Un = 3n -2
c. Un = 3n + 1
d. Un = 3n + 3
Pembahasan:
a = 2
b = 3
Un= a + (n-1)b
Un= 2 + (n-1)3 = 2 + 3n - 3 = 3n-1
b = 3
Un= a + (n-1)b
Un= 2 + (n-1)3 = 2 + 3n - 3 = 3n-1
Jawab : a
Soal No.4
Diketahui U2 + U4 = 12 dan U3 + U5 = 16, maka suku ke-7 barisan itu adalah
a. 15
b. 14
c. 12
d. 10
Pembahasan
Dari penjumlahan suku ke-2 dan ke-4 :
(1) U2 +U4 = 12
⇒ (a + b) + (a + 3b) = 12
⇒ 2 a + 4b = 12
⇒ a + 2b = 6
Dari penjumlahan suku ke-3 dan ke-5 :
(2) U3 + U5 = 16
⇒ (a + 2b) + (a + 4b) = 16
⇒ 2a + 6b = 16
⇒ a + 3b = 8
Langkah berikutnya, kita akan melakukan substitusi persamaa 1 ke persamaan 2:
a + 2b = 6
a = 6 – 2b.... substitusi ke persamaan (2)
Persamaan (2):
a + 3b = 8
⇒ 6 – 2b + 3b = 8
⇒ 6 + b = 8
⇒ b = 2
Karena b = 2, maka a = 6 – 2(2) = 6 – 4 = 2.
Jadi, suku pertama barisan itu adalah 2 dan suku ke-7 barisan aritmatika tersebut adalah :
U7 = a + 6b
⇒ U7 = 2 + 6(2) ⇒ U7 = 14
(1) U2 +U4 = 12
⇒ (a + b) + (a + 3b) = 12
⇒ 2 a + 4b = 12
⇒ a + 2b = 6
Dari penjumlahan suku ke-3 dan ke-5 :
(2) U3 + U5 = 16
⇒ (a + 2b) + (a + 4b) = 16
⇒ 2a + 6b = 16
⇒ a + 3b = 8
Langkah berikutnya, kita akan melakukan substitusi persamaa 1 ke persamaan 2:
a + 2b = 6
a = 6 – 2b.... substitusi ke persamaan (2)
Persamaan (2):
a + 3b = 8
⇒ 6 – 2b + 3b = 8
⇒ 6 + b = 8
⇒ b = 2
Karena b = 2, maka a = 6 – 2(2) = 6 – 4 = 2.
Jadi, suku pertama barisan itu adalah 2 dan suku ke-7 barisan aritmatika tersebut adalah :
U7 = a + 6b
⇒ U7 = 2 + 6(2) ⇒ U7 = 14
Jawab: b
Soal No.5
Dalam sebuah barisan aritmatika diketahui suku kedua adalah 5 dan suku kelima adalah 14. Maka berapakah jumlah 10 suku pertama dari barisan aritmatika tersebut ?
a. 210
b. 300
c. 430
d. 155
Pembahasan:
Suku Kedua :
⇒ U2 = 5
⇒ a + b = 5
⇒ a = 5 - b...(Persamaan 1)
Suku Kelima :
⇒ U5 = 14
⇒ a + 4b = 14...(Persamaan 2)
Substitusi Persamaan 1 ke Persamaan 2
⇒ a + 4b = 14
⇒ 5 - b + 4b = 14
⇒ 3b = 9
⇒ b = 3
Jadi a = 5 -b
⇒ a = 5 - 3 = 2
Jumlah 10 suku pertama:
⇒ Sn= n 2 (a+Un)
⇒ S10= 10 2 (a+U10)
⇒ S10= 5 (a + a + 9b)
⇒ S10= 5 (2 + 2 + 9.3)
⇒ S10= 155
⇒ U2 = 5
⇒ a + b = 5
⇒ a = 5 - b...(Persamaan 1)
Suku Kelima :
⇒ U5 = 14
⇒ a + 4b = 14...(Persamaan 2)
Substitusi Persamaan 1 ke Persamaan 2
⇒ a + 4b = 14
⇒ 5 - b + 4b = 14
⇒ 3b = 9
⇒ b = 3
Jadi a = 5 -b
⇒ a = 5 - 3 = 2
Jumlah 10 suku pertama:
⇒ Sn= n 2 (a+Un)
⇒ S10= 10 2 (a+U10)
⇒ S10= 5 (a + a + 9b)
⇒ S10= 5 (2 + 2 + 9.3)
⇒ S10= 155
Jawab: d
Soal No.6
Diketahui suatu suku ke-4 dan suku ke-9 dari deret aritmatika adalah 16 dan 51. Jumlah 25 suku pertama adalah ...
a. 163
b. 326
c. 1975
d. 3950
Pembahasan
Rumus suku ke-n :
Un = a + (n - 1)b
Suku ke-4 :
⇒ U4 = 16 ⇒ a + 3b = 16 ......(Persamaan 1)
Suku ke-9 :
⇒ U9 = 51 ⇒ a + 8b = 51 ......(Persamaan 2)
Lakukan penngurangan Persamaan(2) dengan Persamaan(1) :
Masukkan nilai b ke Persamaan (1):
⇒ a + 3b = 16
⇒ a + 3(7) = 16
⇒ a + 21 = 16
⇒ a = 16 -21
⇒ a = -5
Jumlah 25 suku pertama:
⇒ Sn= n 2 (a+Un)
⇒ S25 = 25 2 (a + U25)
⇒ S25 = 25 2 (a + a + 24b )
⇒ S25 = 25 2 (-5 - 5 + 24(7) )
⇒ S25 = 25 2 (-10 + 168 )
⇒ S25 = 25 2 158
S25 = 1975
Jawab : c
Un = a + (n - 1)b
Suku ke-4 :
⇒ U4 = 16 ⇒ a + 3b = 16 ......(Persamaan 1)
Suku ke-9 :
⇒ U9 = 51 ⇒ a + 8b = 51 ......(Persamaan 2)
Lakukan penngurangan Persamaan(2) dengan Persamaan(1) :
a + 8b = 51
a + 3b = 16
___________ _
5b = 35
b = 7Masukkan nilai b ke Persamaan (1):
⇒ a + 3b = 16
⇒ a + 3(7) = 16
⇒ a + 21 = 16
⇒ a = 16 -21
⇒ a = -5
Jumlah 25 suku pertama:
⇒ Sn= n 2 (a+Un)
⇒ S25 = 25 2 (a + U25)
⇒ S25 = 25 2 (a + a + 24b )
⇒ S25 = 25 2 (-5 - 5 + 24(7) )
⇒ S25 = 25 2 (-10 + 168 )
⇒ S25 = 25 2 158
S25 = 1975
Jawab : c
Soal No.7
Diketahui jumlah 3 bilangan genap berurutan 114.Jumlah bilangan terbesar dan terkecil adalah....
a. 36 dan 40
b. 36 dan 38
c. 38 dan 40
d. 36 dan 42
Pembahasan
Dari soal di atas, bilangan genap berurutan pasti akan memiliki nilai beda sama dengan 2.
Lalu dari bilangan genap berturut-turut, dapat kita misalkan U1, U2, U3
Dari soal diketahui tiga bilangan genap berurutan bernilai 114, dapat kita maknai sebagai :
U1 + U2 + U3 = 114
Suku ke-1 adalah :
⇒ U1 = a + (1 - 1) 2
⇒ U1 = a
Suku ke-2:
⇒ U2 = a + (n - 1) b
⇒ U2 = a + (2 - 1) 2
⇒ U2 = a + 2
Suku ke-3:
⇒ U3 = a + (n - 1) b
⇒ U3 = a + (3 - 1) 2
⇒ U3 = a + 4
Lalu jumlahkan ketiga suku tersebut :
U1 + U2 + U3 = 114
⇒ a + a + 2 + a + 4 = 114
⇒ 3a + 6 = 114
⇒ 3a = 114 - 6
⇒ 3a = 108
⇒ a = 36
Jadi suku ke-2 adalah :
⇒ U2 = a + 2
⇒ U2 = 36 + 2
⇒ U2 = 38
Jadi suku ke-3 adalah :
⇒ U2 = a + 4
⇒ U2 = 36 + 4
⇒ U2 = 40
Jadi nilai bilangan terkecil 36 dan bilangan terbesar 40
Jawab : a
Lalu dari bilangan genap berturut-turut, dapat kita misalkan U1, U2, U3
Dari soal diketahui tiga bilangan genap berurutan bernilai 114, dapat kita maknai sebagai :
U1 + U2 + U3 = 114
Suku ke-1 adalah :
⇒ U1 = a + (1 - 1) 2
⇒ U1 = a
Suku ke-2:
⇒ U2 = a + (n - 1) b
⇒ U2 = a + (2 - 1) 2
⇒ U2 = a + 2
Suku ke-3:
⇒ U3 = a + (n - 1) b
⇒ U3 = a + (3 - 1) 2
⇒ U3 = a + 4
Lalu jumlahkan ketiga suku tersebut :
U1 + U2 + U3 = 114
⇒ a + a + 2 + a + 4 = 114
⇒ 3a + 6 = 114
⇒ 3a = 114 - 6
⇒ 3a = 108
⇒ a = 36
Jadi suku ke-2 adalah :
⇒ U2 = a + 2
⇒ U2 = 36 + 2
⇒ U2 = 38
Jadi suku ke-3 adalah :
⇒ U2 = a + 4
⇒ U2 = 36 + 4
⇒ U2 = 40
Jadi nilai bilangan terkecil 36 dan bilangan terbesar 40
Jawab : a
Soal No.8
Tentukan suku ke-50 dari barisan berikut:
5, -2, -9, -16, ....
a. -338
b. -77
c. -438
d. 128
Pembahasan
a = 5
Misal kita cari beda suku ke-3 dan ke-2
b = Un-U(n-1)
b = U3-U(3-1)
b = U3-U(2)
b = (-9) - (-2)
b = -9 + 2
b = -7
Maka suku ke-50:
Un = a + (n - 1)b
U50 = 5 + (50 - 1).-7
U50 = 5 + (49).-7
U50 = 5 - 343
U50 = -338
Jawab : a
Misal kita cari beda suku ke-3 dan ke-2
b = Un-U(n-1)
b = U3-U(3-1)
b = U3-U(2)
b = (-9) - (-2)
b = -9 + 2
b = -7
Maka suku ke-50:
Un = a + (n - 1)b
U50 = 5 + (50 - 1).-7
U50 = 5 + (49).-7
U50 = 5 - 343
U50 = -338
Jawab : a
Soal No.9
Jika diketahui barisan aritmatika dengan suku ke-3 = 12 dan suku ke-8 = 37. Maka suku pertama dan nilai bedanya adalah...
a. suku pertama = 2 dan nilai beda = 7
b. suku pertama = 2 dan nilai beda = 5
c. suku pertama = 7 dan nilai beda = 7
d. suku pertama = 7 dan nilai beda = 5
Pembahasan
Diketahui suku ke-3 = U3 = 12, maka
Un = a + (n - 1)b
12 = a + (3 - 1)b
12 = a + 2b .....Persamaan (1)
Diketahui suku ke-8 = U3 = 37, maka
Un = a + (n - 1)b
37 = a + (8 - 1)b
12 = a + 7b .....Persamaan (2)
Lakukan pengurangan persamaan (2) dan (1)
Masukkan nilai b ke Persamaan (1):
⇒ a + 2b = 12
⇒ a + 2(5) = 12
⇒ a + 10 = 12
⇒ a = 12 - 10
⇒ a = 2
Jadi suku pertama = 2 dan nilai beda = 5
Jawab b
Un = a + (n - 1)b
12 = a + (3 - 1)b
12 = a + 2b .....Persamaan (1)
Diketahui suku ke-8 = U3 = 37, maka
Un = a + (n - 1)b
37 = a + (8 - 1)b
12 = a + 7b .....Persamaan (2)
Lakukan pengurangan persamaan (2) dan (1)
a + 7b = 37
a + 2b = 12
___________ _
5b = 25
b = 5
Masukkan nilai b ke Persamaan (1):
⇒ a + 2b = 12
⇒ a + 2(5) = 12
⇒ a + 10 = 12
⇒ a = 12 - 10
⇒ a = 2
Jadi suku pertama = 2 dan nilai beda = 5
Jawab b
Anda dapat menyimak pembahasan dari contoh soal dalam bentuk video berikut ini :