Contoh Soal Invers Matriks dan Pembahasannya

Dalam tutorial mata pelajaran matematika kali ini, kita masih mempelajari tentang matriks. Fokus materi matriks kita kali ini adalah bagaimana cara mencari invers suatu matriks.

Dalam penjelasan sebelumnya, kita telah membahas serta menyertakan latihan soal tentang determinan matriks baik matriks yang berordo 2x2 maupun matriks yang berordo 3x3.

Invers Matriks

Sebuah matriks dapat memiliki nilai invers apabila matriks tersebut adalah matriks persegi. Matriks persegi tersebut adalah matriks yang jumlah kolomnya sama dengan jumlah barisnya. Jadi jik matriks nya bukan merupakan matriks persegi, maka matriks tersebut tidak memiliki invers. Disamping itu beberapa kondisi lain agar sebuah matriks dapat dicari nilai inversnya.

Syarat sebuah matriks mempunyai invers:

• Matriksnya harus matriks persegi (jumlah baris dan kolom sama jumlahnya).
• Jika |A| = 0, maka matriks A tidak mempunyai invers. Oleh karena itu, dikatakan matriks A sebagai matriks singular.
• Jika A ≠ 0, maka matriks A mempunyai invers. Oleh karena itu, dikatakan matriks A sebagai matriks nonsingular.

Invers Matriks Ordo 2x2

Jika diketahui sebuah matriks A seperti dibawah ini :

A=

a b c d

    maka invers matriks A adalah

A^-1= 1 det(A)

d -b -c a

A^-1= 1 ad-bc

d -b -c a

Contoh.1

---

Carilah invers matriks A=

2 1 5 3

Pembahasan

A^-1= 1 det(A)

3 -1 -5 2

A^-1= 1 6-5

3 -1 -5 2

A^-1=

3 -1 -5 2

Invers Matriks Ordo 3x3

Untuk mencari invers matriks ordo nxn seperti untuk matriks 3x3 digunakan rumus seperti berikut:
A^-1= 1 det(A) .Adj(A)

Untuk mencari determinan dari ordo 3x3 kita sudah membahasnya dalam pembahasan : Contoh Soal Determinan Matriks Ordo 3x3.

Sedangkan untuk mengetahui matriks adjoint yang sering disingkat dengan Adj(A), kita harus mengetahui terlebih dahulu matriks kofaktor.

Matriks Kofaktor adalah matriks yang elemennya diganti dengan nilai determinan yang unsurnya tidak sebaris dan tidak sekolom dengan unsur asal. Kemudian dilanjutkan dengan memberikan tanda positif negatif saling bergantian.

+ -  + -  + -  + -  +

Agar lebih memahami tentang pencarian invers matriks untuk ordo 3x3, silahkan perhatikan contoh dibawah ini :

Contoh.1
Carilah invers matriks dari matriks ordo 3x3 berikut ini :

A =

3 1 0 2 1 1 6 2 2

1. Langkah pertama mencari matriks kofaktornya :

Kof A =

+ 1 1 2 2 -  2 1 6 2 + 2 1 6 2 -  1 0 2 2 + 3 0 6 2 -  3 1 6 2 + 1 0 1 1 -  3 0 2 1 + 3 1 2 1

Kof A =

0 2 -2 -2 6 0 1 -3 1

2. Langkah berikutnya adalah mencari matriks ADJOIN nya :

Kof A =

0 2 -2 -2 6 0 1 -3 1

Maka matriks adjoin nya menjadi :

Matriks Adj A =

0  -2 1  2   6  -3 -2 0 1

3. Langkah ketiga mencari determinan dari matriks A:

det(A) =

3 1 0 2 1 1 6 2 2

3 1 2 1 6 2

det(A) = (3.1.2)+(1.1.6)+(0.2.2)-(0.1.6)-(3.1.2)-(1.2.2)
       =    6   +   6   +   0   -   0   -   6   -   4
       = 2

4. Langkah terakhir adalah mencari invers matriksnya :

A^-1= 1 2

0 -2 1 2 6 -3 -2 0 1

Maka matriknya menjadi :

A^-1=

0 -1 1/2 1 3 -3/2 -1 0 1/2