Informasi Serba Definisi

Contoh Soal Turunan Fungsi Aljabar dan Pembahasannya

Contoh Soal Turunan Fungsi Aljabar dan Pembahasannya

Materi tutorial mata pelajaran matematika kita kali ini akan membahas tentang "Turunan" atau yang dikenal dengan nama lain "Differensiasi".

Dalam penelitian fisika, seperti bandul menggunakan turunan, pergerakannya mempunyai nilai yang dapat di gunakan sebagai turunan. Seperti halnya dengan lempar lembing,lempar cakram, menembak, dan lain – lain. Setiap waktu dan percepatannya mempunyai nilai yang dapat mengetahui penurunan. Begitu juga penurunan di gunakan dalam astronomi,geografi,dan ekonomi.

Definisi Turunan

Turunan fungsi aljabar merupakan perluasan dari materi limit fungsi. Turunan fungsi dinotasikan f'(x), dengan rumus :

f'(x) =
lim x→0
f(x + h) - f(x) / h

Bentuk limit di atas disebut dengan derivatif atau turunan pertama fungsi f(x) dan ditulis f'(x). Proses mencari derivatif disebut dengan differensial.

Jenis-Jenis Notasi Turunan

Jika membaca beberapa sumber referensi, terdapat penulisan notasi yang berbeda-beda dalam melambangkan sebuah turunan. Terdapat tiga jenis notasi turunan yaitu :
  • y' = f'(x) , merupakan notasi Lagrange
  • dy / dx
    =
    df(x) / dx
    , merupakan notasi >Leibniz
  • Dxy = Dx[f(x)] , merupakan notasi Euler.


Soal - Soal Latihan Turunan

Soal No.1
Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:
a) f(x) = 10x
b) f(x) = 8
c) f(x) = 12

Pembahasan
a) f(x) = 10x
⇔f(x) = 10x1
⇔f'(x) = 10x1−1
⇔f'(x) = 10x0
⇔f'(x) = 10

b) f(x) = 8
⇔f(x) = 8x0
⇔f'(x) = 0 ⋅ 8x0−1
⇔f'(x) = 0

c) f(x) = 12
⇔f(x) = 12x0
⇔f'(x) = 0 ⋅ 12x0−1
⇔f'(x) = 0


Soal No.2
Carilah turunan pertama f'(x) dari fungsi-fungsi di bawah ini :
a. f(x) = 6x
b. f(x) = x4
c. f(x) = -4x5
d. f(x) = 4x3 - 3x2 + 8x -5

Pembahasan
a. f(x) = 6x
⇔ f'(x) = 6

b. f(x) = x4
⇔ f'(x) = 4x3

c. f(x) = -4x5
⇔ f'(x) = -20x4

d. f(x) = 4x3 - 3x2 + 8x -5
⇔ f'(x) = 12x2 - 6x + 8


Soal No.3
Carilah Turunan Kedua (f"(x)) dari fungsi f(x) = 4x3 - 3x2 + 8x - 5

Pembahasan
f(x) = 4x3 - 3x2 + 8x - 5
f'(x) = 4.3x(3-1) - 3.2x(2-1) + 8 - 0
f'(x) = 12x2 -6x + 8

f"(x) = 12.2x(2-1) - 6 + 0
f"(x) = 24x - 6


Soal No.4
Carilah turunan pertama f'(x) dari fungsi-fungsi dibawah ini :
a. f(x) =
2 / x

b. f(x) =
1 / 4x6


Pembahasan
a. f(x) =
2 / x
⇔ f(x) = 2x-1
f'(x) = 2.(-1)x(-1-1)
f'(x) = -2x-2
f'(x) = -
2 / x2


b. f(x) =
1 / 4x6
⇔ f(x) =
1 / 4
x-6
f'(x) =
1 / 4
.(-6) . x(-6-1)
f'(x) = -
3 / 2
x-7
f'(x) = -
3 / 2x7


Soal No.5
Carilah turunan pertama f'(x) dari fungsi-fungsi dibawah ini :
a. f(x) = 3x1/2
b. f(x) = 6x3/2

Pembahasan
a. f(x) = 3x1/2
⇔ f'(x) =
1 / 2
. 3x(1/2 - 1)
⇔ f'(x) =
3 / 2
. x-1/2

b. f(x) = 6x3/2
⇔ f'(x) =
3 / 2
. 6x(3/2 - 1)
⇔ f'(x) = 9x1/2


Soal No.6
Carilah turunan f'(x) untuk f(x) = (x2 + 2x + 3)(4x + 5)

Pembahasan
Misal :
u = (x2 + 2x + 3)
v = (4x + 5)

Sehingga didapatkan
u' = 2x + 2
v' = 4

Kemudian kita masukkan ke dalam rumus f'(x) = u'v + uv' sehingga turunannya menjadi :
f'(x) = (2x + 2)(4x + 5) + (x2 + 2x + 3)(4)
f'(x) = 8x2 + 10x + 8x + 10 + 4x2 + 8x + 12
f'(x) = 8x2 + 4x2 + 10x + 8x + 8x + 10 + 12
f'(x) = 12x2 + 26x + 22


Soal No.7
Diketahui :
f(x) =
x2 + 3 / 2x + 1

Jika f ‘(x) menyatakan turunan pertama f(x), maka f(0) + 2f ‘ (0) =..?

Pembahasan
Untuk x = 0 maka nilai f(x) adalah:
f(x) =
x2 + 3 / 2x + 1

f(0) =
02 + 3 / 2(0) + 1
= 3

Sedangkan untuk menentukan turunan terhadap fungsi f(x) yang berbentuk hasil bagi, kita gunakan rumus :
f(x) =
u / v

f(x) =
u'v - uv' / v2


Dengan demikian, kita misalkan :
u = x2 + 3 ⇔ u' = 2x
v = 2x + 1 ⇔ v' = 2

Sehingga turunannya adalah:
f(x) =
x2 + 3 / 2x + 1

f'(x) =
(2x)(2x+1) - (x2+3)(2) / (2x + 1)2

f'(x) =
4x2 + 2x - 2x2 - 6 / (2x + 1)2

f'(x) =
2x2 + 2x - 6 / (2x + 1)2


Untuk nilai x = 0, maka di dapatkan:
f'(0) =
2.02 + 2.0 - 6 / (2.0 + 1)2
= -6

Sehingga f(0) + 2f'(0) = 3 + 2(−6) = − 9


Soal No.8
Jarak yang ditempuh sebuah mobil dalam waktu t ditentukan oleh fungsi:

S(t) = 3t2 - 24t + 5

Hitunglah nilai t untuk mendapatkan kecepatan maksimum mobil tersebut

Pembahasan
Untuk mencari kecepatan maksimum, maka persamaan tersebut harus diturunkan:
S(t) = 3t2 - 24t + 5
S'(t) = 2.3t(2-1) - 1.24t(1-1) + 0
S'(t) = 6t - 24 = 0
6t = 24
t =
24 / 6
= 4 detik


Soal No.9
Sebuah pabrik baju dalam memproduksi memerlukan x meter kain yang dinyatakan dengan fungsi:
P(x) =
1 / 3
x2 - 12x + 150 (dalam juta rupiah)
Berapa biaya produksi minimum yang dikeluarkan oleh pabrik baju tersebut ?

Pembahasan
P(x) akan bernilai minimum jika P'(x) = 0

P(x) =
1 / 3
x2 - 12x + 150 (dalam juta rupiah)
P'(x) =
1 / 3
.2.x - 12
P'(x) =
2 / 3
x - 12

Karena kita akan mencari nilai minimum, sesuai dengan syarat P'(x) = 0, maka :
P'(x) = 0
2 / 3
x - 12 = 0
2 / 3
x = 12
x =
12.3 / 2
= 18

Dengan demikian, biaya produksinya adalah :
P(x) =
1 / 3
x2 - 12x + 150
P(18) =
1 / 3
(182) - 12(18) + 150
P(18) = 108 - 216 + 150
p(18) = 42 (dalam juta rupiah)

Share this:

You Might Also Like:

Disqus Comments