Memahami Nilai Minor, Matriks Minor, Nilai Kofaktor

Tutorial Matematika kita kali yang berkenaan dengan matriks, akan mengdiskusikan tentang nilai minor, nilai kofaktor, matriks kofaktor dan juga matriks adjoin.

Dalam tutorial matriks sebelumnya sudah banyak disinggung hal-hal yang berkenaan dengan : cara mencari determinan matriks, cara mencari invers matriks, cara mencari transpose matriks. Bahkan dalam contoh soal invers matriks , sudah disinggung tentang matriks kofaktor dan matriks adjoin. Dalam pembahasan kali ini kita akan lebih menyelami lagi materi matriks kofaktor dan matriks adjoin agar dapat memahaminya menjadi lebih baik lagi.

Nilai Minor Matriks Ordo 2x2

Minor suatu matriks 𝐴 dilambangkan dengan 𝑀_ij adalah matriks bagian dari 𝐴 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen – elemennya pada baris ke-𝑖 dan elemen elemen pada kolom ke-𝑗.

Misalkan kita memiliki matriks ordo 2x2 seperti dibawah ini :

A =

a b c d

Maka nilai minor matriks akan dicari masing-masing pada baris dan kolomnya seperti berikut :

• Nilai minor matriks pada baris pertama dan kolom pertama :
  

  M_(1,1) =

  a b c d

    = d

  
  
• Nilai minor matriks pada baris pertama dan kolom kedua :
  

  M_(1,2) =

  a b c d

    = c

  
  
• Nilai minor matriks pada baris kedua dan kolom pertama:
  

  M_(2,1) =

  a b c d

    = b

  
  
• Nilai minor matriks pada baris kedua dan kolom kedua:
  

  M_(2,2) =

  a b c d

    = a

  
  

Jadi, komponen minor dari matriks A adalah :

M_A =

d c b a

---

Contoh.1

---

Tentukanlah minor matriks A :

A =

4 7 8 2

Pembahasan:

• Nilai minor matriks pada baris pertama dan kolom pertama :
  

  M_(1,1) =

  4 7 8 2

    = 2

  
  
• Nilai minor matriks pada baris pertama dan kolom kedua :
  

  M_(1,2) =

  4 7 8 2

    = 8

  
  
• Nilai minor matriks pada baris kedua dan kolom pertama:
  

  M_(2,1) =

  4 7 8 2

    = 7

  
  
• Nilai minor matriks pada baris kedua dan kolom kedua:
  

  M_(2,2) =

  4 7 8 2

    = 4

  
  

Sehingga komponen minor dari matriks A adalah :

M_A =

2 8 7 4

Nilai Minor Matriks Ordo 3x3

Untuk mencari nilai minor matriks ordo 3x3 secara prinsip masih sama seperti matriks ordo 2x2, namun nantinya nilai yang didapatkan adalah nilai determinan.

Untuk mendapatkan gambaran atau pemahaman yang lebih jelas, kita akan langsung sertakan dengan contoh.

Tentukan nilai minor untuk matriks ordo 3x3 dibawah ini :

A =

5  7 1 -4 1 0 2  0 3

Pembahasan:

• Nilai minor matriks pada baris pertama dan kolom pertama
  

  M_(1,1) =

  1 0 0 3

  = 1·3 - 0·0 = 3 - 0 = 3

  
  
• Nilai minor matriks pada baris pertama dan kolom kedua
  

  M_(1,2) =

  -4 0 2 3

  = -4·3 - 0·2 = -12 -0 = -12

  
  
• Nilai minor matriks pada baris pertama dan kolom ketiga
  

  M_(1,3) =

  -4 1 2 0

  = -4·0 - 1·2 = 0 - 2 = -2

  
  
• Nilai minor matriks pada baris kedua dan kolom pertama
  

  M_(2,1) =

  7 1 0 3

  = 7·3 - 1·0 = 21 - 0 = 21

  
  
• Nilai minor matriks pada baris kedua dan kolom kedua
  

  M_(2,2) =

  5 1 2 3

  = 5·3 - 1·2 = 15 - 2 = 13

  
  
• Nilai minor matriks pada baris kedua dan kolom ketiga
  

  M_(2,3) =

  5 7 2 0

  = 5·0 - 7·2 = 0 - 14 = -14

  
  
• Nilai minor matriks pada baris ketiga dan kolom pertama
  

  M_(3,1) =

  7 1 1 0

  = 7·0 - 1·1 = 0 - 1 = -1

  
  
• Nilai minor matriks pada baris ketiga dan kolom kedua
  

  M_(3,2) =

  5 1 -4 0

  = 5·0 - 1·(-4) = 0 + 4 = 4

  
  
• Nilai minor matriks pada baris ketiga dan kolom ketiga
  

  M_(3,3) =

  5 7 -4 1

  = 5·1 - 7·(-4) = 5 + 28 = 33

  
  

Sehingga nilai minor untuk matriks A adalah :

A =

3   -12 -2   21 13  -14 -1  4    33

Nilai Kofaktor

Setelah kita mendapatkan nilai minor dari masing-masing elemen matriks, maka baru dapat  dilanjutkan dengan menentukan nilai kofaktor. Dengan demikian, nilai kofaktor dapat dicari apabila nilai minor dicari terlebih dahulu.

Nila kofaktor yaitu suatu nilai yang mengandung nilai positif (+) atau nilai minus (-) pada masing-masing nilai minor.

Berikut ini adalah nilai kofaktor untuk sebuah matriks nxn :

+ -  + .. -  + -  .. + -  + .. .. .. .. ..

Jika kita ambil contoh diatas, dari nilai minor matriks ordo 3x3 yang sudah diketahui, maka:

• C_(1,1)=+3 = 3
• C_(1,2)=-(-12)= 12
• C_(1,3)=+(-2)= -2
• C_(2,1)=-21= -21
• C_(2,2)=+13= 13
• C_(2,3)=-(-14)= 14
• C_(3,1)=+(-1)= -1
• C_(3,2)=-(4)= -4
• C_(3,3)=+(33)= 33

Sehingga matriks kofaktornya adalah :

C_A =

3    12  -2 -21 13 -14 -1   -4  33

Matriks Adjoin

Setelah didapatkan matriks kofaktor (C), maka  kita sudah bisa mendapatkan Adjoin dari matrik tersebut dengan cara melakukan transpose matriks. Tutorial lebih lanjut tentang transpose matriks dapat ditemukan dalam : Contoh Soal Transpose Matriks dan Pembahasannya.

Dari matriks kofaktor :

C_A =

3    12  -2 -21 13 -14 -1   -4  33

Maka Matriks Adjoinnya adalah :

Adj_(A) =

3   -21 -1 12  13 -4   -2 -14 33