Berbicara tentang rumus permutasi, maka kita pun harus mengetahui tentang rumus faktorial. Karena rumus faktorial ini akan digunakan dalam pemakaian permutasi.
Dalam materi ini kita tidak hanya membicarkan tentag rumus permutisi beserta latihan soalnya, akan tetapi kita juga akan mengupas maksud atau tujuan dari permutasi itu sendiri. Dengan demikian kita dapat mengetahui fungsi dari permutasi.
Secara ringkas, sub pokok bahasan yang akan diulas adalah :
- Pengertian Faktorial
- Rumus Faktorial
- Pengertian Permutasi
- Rumus Permutasi
- Contoh Soal Permutasi
Faktorial
Pada pelajaran matematika, faktorial dari bilangan asli n merupakan hasil perkalian antara bilangan bulat positif yang kurang dari atau sama dengan n hingga terurut 1. Simbol penulisan Faktorial ditulis sebagai n! dan disebut n faktorial. Persamaan umum faktorial dapat dituliskan sebagai:
n! = n . (n - 1) ! . (n - 2) ! . (n - 3)! . ... . 1 = n . (n - 1)!
Contoh :
- 3! =3.2.1 = 6
- 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
Permutasi
Sebelum kita maksud kepada rumus permutasi, terlebih dahulu kita akan mencoba memahami apa fungsi dari permutasi itu sendiri. Misalnya terdapat sebuah kata yang terdiri dari alfabet "abcd" dan jika kita ingin menuliskan kembali kata tersebut dengan urutan yang berbeda, maka kita dapat menulisnya menjadi :
abcd abdc acbd acdb adbc adcb
bacd badc bcad bcda bdac bdca
cabd cadb cbad cbda cdab cdba
dabc dacb dbac dbca dcab dcbaDari kasus diatas, maka Permutasi bertujuan untuk menyusun urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang disediakan.
Rumus Permutasi
Secara matematis, persamaan Permutasi dituliskan sebagai berikut :
P(n,r)=
n!
(n-r)!
Contoh:
- P(6,3)= 6! (6-3)! = 6.5.4.3.2.1 3.2.1 = 120
Soal-soal latihan Faktorial
1. Soal Faktorial Pertama
Berapakan faktorial dari 5! = ....?a. 60
b.120
c. 121
d. 122
Pembahasan
5! = 5.4.3.2.1 = 120
Jawaban : b
Jawaban : b
2. Soal Faktorial Kedua
Berapakah hasil penjumlahan dari dua bilangan faktorial : 5! + 3! = ....?a. 126
b. 123
c. 122
d. 136
Pembahasan
5! = 5.4.3.2.1 = 120
3! = 3.2.1 = 6
Jadi ,5! + 3! = 126
Jawaban : a
3! = 3.2.1 = 6
Jadi ,5! + 3! = 126
Jawaban : a
3. Soal Faktorial Keempat
Berapakah hasil pembagian dari dua bilangan faktorial 8! 5!a. 336
b. 335
c. 436
d. 426
Pembahasan
8!
5!
=
8.7.6.5!
5!
= 8.7.6 = 336
Jawaban : a
Jawaban : a
Soal-soal latihan Permutasi
1. Soal Permutasi Pertama
Berapakah nilai permutasi dari P(5,4) ?
a. 60
b. 80
c. 20
d. 22
Pembahasan
P(5,3)=
5!
(5-3)!
=
5.4.3.2!
2!
= 60
Jawaban : a
Jawaban : a
2. Soal Permutasi Kedua
Empat pejabat yang diundang datang secara sendiri-sendiri (tidak bersamaan). Banyak cara kedatangan ke empat pejabat sebesar =...?
a. 4
b. 8
c. 18
d. 12
Pembahasan
Diketahui :
n = 4, menyatakan jumlah pejabat yang diundang
r = 1, menyatakan datang secara sendiri-sendiri
P(4,1)=
4!
(4-1)!
=
4.3!
3!
= 4
Jawaban : a
3. Soal Permutasi Ketiga
Sebuah sekolah akan menyusun tim olahraga yang terdiri dari 5 orang siswa yang akan dicalonkan untuk menjadi pemain. Namun hanya 3 orang boleh menjadi pemain utama. Tentukan banyak cara yang bisa dipakai untuk memilih para pemain utama tersebut?
a. 60
b. 20
c. 90
d. 12
Pembahasan
Diketahui :
n = 5, menyatakan jumlah siswa yang akan dicalonkan dalam tim olahraga
r = 3, menyatakan jumlah siswa yang boleh jadi pemain utama.
P(5,3)=
5!
(5-3)!
=
5.4.3.2!
2!
= 60
Jawaban : a
Jawaban : a
4. Soal Permutasi Keempat
Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu ?
a. 60 cara
b. 20 cara
c. 90 cara
d. 210 cara
Pembahasan
Dari soal dikatakan salah seorang salalu duduk di kursi tertentu, sehingga tigan 7 orang dengn 3 kursi kosong.
Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong.
Dengan demikian banyaknya cara duduk kita gunakan rumus :
P(7,3) =
⇔
⇔
⇔ 210 cara
Jawab :d
Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong.
Dengan demikian banyaknya cara duduk kita gunakan rumus :
P(7,3) =
7!
(7 - 3)!
⇔
7!
4!
⇔
7.6.5.4!
4!
⇔ 210 cara
Jawab :d
5. Soal Permutasi Kelima
Dalam suatu organisasi akan dipilih pengurus sebagai ketua, sekretaris dan bendahara dari 12 calon yang memenuhi kriteria. Banyak susunan pengurus yang mungkin dari 12 calon tersebut adalah ...
a. 27
b. 36
c. 220
d. 1.320
Pembahasan
P(12,3) =
P(12,3) =
Jawab : d
12!
(12-3)!
P(12,3) =
12.11.10.9!
9!
= 1320Jawab : d
6. Soal Permutasi Keenam
Dari 11 orang calon Manajer akan dipilih 4 orang sebagai Manajer untuk ditempatkan di empat divisi, maka banyak cara pemilihan yang mungkin adalah ...
a. 44
b. 256
c. 330
d. 7.920
Pembahasan
P(11,4) =
P(11,4) =
Jawab : d
11!
(11-4)!
P(11,4) =
11.10.9.8.7!
7!
= 7920Jawab : d
7. Soal Permutasi Ketujuh
Dalam memperingati Hari Ulang Tahun RI yang akan datang di salah satu RT akan dibentuk panitia inti sebanyak 2 orang (terdiri dari ketua dan wakil ketua). Calon panitia tersebut ada 6 orang yaitu: a, b, c, d, e, dan f. Ada berapa pasang calon yang dapat duduk sebagai panitia inti tersebut ?
a. 40 cara
b. 25 cara
c. 330 cara
d. 30 cara
Pembahasan
P(6,2) =
P(11,4) =
Jawab : d
6!
(6-2)!
P(11,4) =
6.5.4!
4!
= 30 caraJawab : d
8. Soal Permutasi Kedelapan
Hitunglah ada berapa banyak cara jika 4 orang menempati kursi yang akan disusun dalam suatu susunan yang teratur ?
a. 24 cara
b. 26 cara
c. 14 cara
d. 12 cara
Pembahasan
P(4,4) =
P(4,4) =
P(4,4) =
Jawab : a
4!
(4-4)!
P(4,4) =
4!
0!
P(4,4) =
4.3.2.1
1
= 24 caraJawab : a
9. Soal Permutasi Kesembilan
Tentukanlah ada berapa banyak cara duduk yang memungkinkan jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu ?
a. 210 cara
b. 216 cara
c. 140 cara
d. 120 cara
Pembahasan
Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong.
Maka banyaknya cara duduk ada :
7P3 = 7!/(7-3)! = 7!/4! = 7.6.5 = 210 cara
P(7,3) =
P(7,3) =
Jawab : a
7!
(7-3)!
P(7,3) =
7.6.5.4!
4!
= 210 caraJawab : a