Jenis-Jenis Dan Sifat-Sifat Akar Persamaan Kuadrat

Soal Sifat Akar Persamaan Kuadrat - Dalam tutorial pembelajaran matematika kali ini, kita akan mempelajari materi tentang sifat-sifat akar persamaan kuadrat.

Akar-akar persamaan kuadrat dapat berupa bilangan real (sama atau berlainan), bilangan imajiner, bilangan rasional maupun bilangan irasional.

Sifat-sifat akar persamaan kuadrat dapat berupa bilangan positif, bilangan yang bernilai negatif ataupun bilangan-bilangan yang sama besar dan juga bilangan-bilangan yang berkebalikan.

Jenis-Jenis Akar Persamaan Kuadrat

Suatu persamaan kudarat ax² + bx + c = 0 memiliki akar-akar berupa x₁ dan x₂ dan nilai determinan (D) = b² - 4.a.c

Nah, dari akar-akar dan nilai determinan suatu persamaan kuadrat, kita dapat mengdeskripsikan jenis-jenis akar persamaan kuadrat yang dihubungkan dengan nilai diskriminan.

Hubungan Nilai Diskriminan dengan Jenis Akar Persamaan Kuadrat
Nilai Diskriminan	Jenis Akar Persamaan Kuadrat
D > 0	Dua akar real yang berbeda Jika D bilangan kuadrat, maka akar-akarnya rasional Jika D bukan bilangan kuadrat, maka akar-akarnya irrasional
D = 0	Dua akar yang sama (kembar)
D < 0	Tidak mempunyai akar real atau kedua akar tidak real (imajiner)

Sifat-Sifat Akar Persamaan Kuadrat

Berikut ini adalah tabel hubungan antara akar-akar x₁ dan x₂ pada persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0.

Sifat-Sifat Akar Persamaan Kuadrat
Hubungan	Akar-Akar		Syarat
	x1	x2
Kedua akar real posifit	+	+	x1 + x2 > 0 x1 . x2 > 0 D ≥ 0
Kedua akar real negatif	-	-	x1 + x2 < 0 x1 . x2 > 0 D ≥ 0
Kedua akar berlawanan tanda	+ -	- +	x1 . x2 < 0 D > 0
Kedua akar real berlawanan	x1 = -x2		x1 + x2 = 0 x1 . x2 < 0 D > 0
Akar yang satu kebalikan akar yang lain	x1 = 1 / x2		x1 . x2 = 1 D > 0

Contoh Soal

Soal No.1

---

Tentukanlah jenis-jenis akar persamaan kuadrat di bawah ini:
A. 2x² – 7x + 6 = 0
B. x² – 6x + 12 = 0
C. x² – 4x + 1 = 0

Pembahasan
A.2x² – 7x + 6 = 0

Dari persamaan kudarat tersebut kita dapatkan nilai :
a = 2
b = -7
c = 6

Lalu kita cari nilai determinannya :
⇔ D = b² - 4.a.c
⇔ D = (–7)2 – 4(2)(6)
⇔ D = 49 – 48
⇔ D = 1
Jadi akar-akar persamaan kuadrat di atas adalah real yang berbeda dengan kategori rasional

B. x² – 6x + 12 = 0

Dari persamaan kudarat tersebut kita dapatkan nilai :
a = 1
b = -6
c = 12

Lalu kita cari nilai determinannya :
⇔ D = b² - 4.a.c
⇔ D = (–6)² – 4(1)(12)
⇔ D = 36 – 48
⇔ D = -12
Jadi akar-akar persamaan kuadrat di atas adalah tidak nyata (imajiner)

C. x² – 4x + 1 = 0

Dari persamaan kudarat tersebut kita dapatkan nilai :
a = 1
b = -4
c = 1

Lalu kita cari nilai determinannya :
⇔ D = b² - 4.a.c
⇔ D = (–4)² – 4(1)(-1)
⇔ D = 16 + 4
⇔ D = 20
Jadi akar-akar persamaan kuadrat di atas adalah real yang berbeda dengan kategori irrasional

Soal No.2

---

Carilah nilai m jika persamaan kuadrat (m + 1)x² − 8x + 2 = 0 mempunyai akar kembar

Pembahasan

Dari persamaan kuadrat (m + 1)x² − 8x + 2 = 0, kita dapatkan :
a = m + 1
b = −8
c = 2

Agar kedua akar memiliki akar kembar :
⇔ D = 0
⇔ b² − 4.a.c = 0
⇔ (-8)² − 4.(m + 1).2 = 0
⇔ 64 − 8m − 8 = 0
⇔ 56 − 8m = 0
⇔ −8m = −56
⇔ m = 7

Jadi nilai m adalah m = 7

Soal No.3

---

Suatu persamaan kuadrat (2p + 1)x² + 25x + p² - 14 = 0 memiliki akar-akar yang saling berkebalikan. Jika nilai p > 0, tentukan nilai p yang memenuhi syarat > 0 ?

Pembahasan

Dari persamaan kuadrat (2p + 1)x² + 25x + p² - 14 = 0, kita dapatkan :
a = 2p + 1
b = 25
c = p² − 14

Karena kedua akar saling berkebalikan (lihat tabel), maka:
⇔ x₁ . x₂ = 1
⇔

c / a

= 1
⇔ c = a

Masukkan (substitusi) nilai c dan a :
⇔ c = a
⇔ p² − 14 = 2p + 1
⇔ p² − 14 - 2p - 1 = 0
⇔ p² − 15 - 2p = 0
⇔ (p − 5)(p + 3) = 0
⇔ p = 5 atau p = −3

Dalam soal disebutkan nilai p > 0, maka nilai p yang memenuhi adalah p = 5