Jika kita berbicara tentang data, tentunya kita teringat dengan imu statistik atau statistika.
Arti atau maksud dari Statistika itu adalah segala sesuatu yang berhubungan bagaimana kita menyajikan data serta menarik kesimpulan berdasarkan data yang ada.
Kalau dibangku perkuliahan, ilmu statistik ini ada mata kuliah (mata pelajaran) tersendiri. Namun dalam persekolahan, statistik merupakan bagian dari mata pelajaran matematika, dimana kita dapat temukannya pada bagian bab tersendiri.
Mengingat cakupan statistik ini yang cukup luas, disini kita akan mempelajari pemusatan data yang terdiri : Median, Modus dan Mean.
Median
Sebelum kita masuk pada latihan soal, terlebih dahulu kita akan memahami konsep tentang apa itu median beserta cara mencarinya.Apa itu Median ?
Median adalah nilai tengah dari suatu data yang telah diurutkan. Ingat !, penekanannya adalah data harus diurutkan terlebih dahulu, baru kita cari nilai tengahnya.
A. Median untuk Data Tunggal
Dalam mencari nilai median (nilai tengah ) terhadap suatu data, terkadang ada data yang ganjil dan ada juga data yang berjumlah genap.
Median Untuk Jumlah Data Ganjil:
Me = X(
Median Untuk Jumlah Data Genap:
Me =
Keterangan
Me = X(
n+1
2
)
Median Untuk Jumlah Data Genap:
Me =
1
2
X((
n
2
) + X(
n
2
+ 1))
Keterangan
- Me adalah Median
- n adalah jumlah data
- X adalah nilai data
Contoh Soal No.1
Diketahui jumlah data sebanyak 9 dengan nilai-nilanya sebagai berikut:
6, 8, 5, 7, 6, 3, 2, 4, 8
Hitunglah nilai median data tersebut ?
Pembahasan
Sebelum mencari nilai median, kita harus urutkan data tersebut, sehingga data tersebut menjadi :
2, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 8
Karena jumlah datanya ganjil, maka kita gunakan rumus :
Me = X(
Me = X(
Me = X5
X5 berarti urutan data ke-5. Jadi Nilai Mediannya adalah 6 (setelah data diurutkan).
2, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 8
Karena jumlah datanya ganjil, maka kita gunakan rumus :
Me = X(
n+1
2
)
Me = X(
9+1
2
)
Me = X5
X5 berarti urutan data ke-5. Jadi Nilai Mediannya adalah 6 (setelah data diurutkan).
Contoh Soal No.2
Dalam mempersiapkan Pekan Olahraga Mahasiswa Nasional (POMNAS), sebuah kampus mengseleksi tinggi badan 10 orang mahasiswa dalam mengikuti turnamen lompat tinggi. Hasil pengukuran tinggi badan kesepuluh mahasiswa tersebut adalah sebagai berikut :
172, 167, 180, 171, 169, 160, 175, 173, 170, 165
Hitunglah median dari data tinggi badann mahasiswa ?
Pembahasan
Terlebih dahulu kita urutkan datanya, sehingga menjadi :
160, 165, 167, 169,
Karena jumlah datanya genap, yaitu :10, maka rumus yang digunakan adalah :
Me =
Me =
Me =
Me =
Me =
Dengan demikian Nilai Mediannya adalah 170,5
160, 165, 167, 169,
170, 171, 172, 173, 175, 180Karena jumlah datanya genap, yaitu :10, maka rumus yang digunakan adalah :
Me =
1
2
X((
n
2
) + X(
n
2
+ 1))
Me =
1
2
X((
10
2
) + X(
10
2
+ 1))
Me =
1
2
(X5 + X6)
Me =
1
2
(170 + 171)
Me =
1
2
(341) = 170,5
Dengan demikian Nilai Mediannya adalah 170,5
B. Median untuk Data Kelompok
Kita telah menjelaskan cara mencari median pada data tunggal. Sekarang kita akan menjelaskan bagaimana cara menhitung median pada data kelompok.Seperti yang kita ketahui, data tunggal merupakan data yang belum tersusun atau dikelompkkan kedalam kelas-kelas interval, sedangkan data kelompok adalah data yang sudah disusun dan sudah dikelompokkan dalam kelas-kelas interval, dan biasanya data kelompok disusun dalam tabel frekuensi.
Rumus Median Data Kelompok :
Me = Tb + (
Keterangan
Me = Tb + (
n/2 - Fk
Fm
) . I
Keterangan
- Me adalah Median
- Tb adalah Tepi bawah median
- Fk adalah frekuensi kumulatif data di bawah kelas median
- Fm adalah Frekuensi kelas Median
- I adalah Panjang Interval kelas
- n adalah Jumlah semua frekuensi
Contoh Soal No.1
Dalam suatu ujian matematika yang diikuti oleh sebanyak 30 siswa, didapatkan nilai sebagai beriku:
- Yang mendapat nilai 41 - 50, sebanyak 5 orang
- Yang mendapat nilai 51 - 60, sebanyak 8 orang
- Yang mendapat nilai 61 - 70, sebanyak 7 orang
- Yang mendapat nilai 71 - 80, sebanyak 6 orang
- Yang mendapat nilai 81 - 90, sebanyak 4 orang
| Nilai | Frekuensi |
|---|---|
| 41-50 | 5 |
| 51-60 | 8 |
| 61-70 | 7 |
| 71-80 | 6 |
| 81-90 | 4 |
| Total | 30 |
Carilah Nilai Median dari tabel di atas ?
Pembahasan
1. Langkah Pertama :
Terlebih dahulu dibuat tabel untuk menghitung frekuensi kumulatif data. Tabelnya adalah sebagai berikut :
2. Langkah ke-2: Mencari Tepi Bawah Median:
Jumlah data adalah 30, sehingga mediannya terletak di antara data ke 15 dan 16. Data ke-15 dan 16 ini berada pada kelas interval ke-3 (61 – 70). Kelas interval ke-3 ini kita sebut kelas median.
Data pada interval ke-3(61-70) memiliki Bata Bawah Median (Tb) : 60,5.
3. Langkah ke-3 :
Berdasarkan informasi Langkah-1 dan Langkah-2, kita dapat menyimpulkan :
Selanjutnya,kita masukkan semua data yang didapatkan ke dalam persamaan :
Me = Tb + (
Me = 60,5+ (
Me = 60,5+ (
Me = 60,5 + 2,857
Me = 63,357
Jadi Mediannya adalah 63,357
Terlebih dahulu dibuat tabel untuk menghitung frekuensi kumulatif data. Tabelnya adalah sebagai berikut :
| Nilai | Frekuensi (Fm) | Frekuensi Kumulatif (Fk) |
|---|---|---|
| 41-50 | 5 | 5 |
| 51-60 | 8 | 13 |
61-70 |
7 |
20 |
| 71-80 | 6 | 26 |
| 81-90 | 4 | 30 |
2. Langkah ke-2: Mencari Tepi Bawah Median:
Jumlah data adalah 30, sehingga mediannya terletak di antara data ke 15 dan 16. Data ke-15 dan 16 ini berada pada kelas interval ke-3 (61 – 70). Kelas interval ke-3 ini kita sebut kelas median.
Data pada interval ke-3(61-70) memiliki Bata Bawah Median (Tb) : 60,5.
3. Langkah ke-3 :
Berdasarkan informasi Langkah-1 dan Langkah-2, kita dapat menyimpulkan :
- Fk = 13
- Fm = 7
- I = 10
Selanjutnya,kita masukkan semua data yang didapatkan ke dalam persamaan :
Me = Tb + (
n/2 - Fk
Fm
) . I
Me = 60,5+ (
30/2 - 13
7
) . 10
Me = 60,5+ (
2
7
) . 10
Me = 60,5 + 2,857
Me = 63,357
Jadi Mediannya adalah 63,357
Mean
Mean adalah nilai rata-rata dari sejumlah data, dimana kita jumlahkan nilai-nilai tersebut lalu dibagi dengan banyaknya data.A. Mean untuk Data Tunggal
Jika kita memiliki data sebanyak 10 buah, maka kita jumlah data ke-1, data ke-2 sampai dengan data ke-10. Hasil penjumlahannya dibagi dengan 10 yang merupakan banyaknya data.Jadi kita bisa rumuskan mean atau nilai rata-rata :
x̄ =
Keterangan
x1 + x2 + x3+........+xn
n
Keterangan
- x̄ adalah mean atau nilai rata-rata
- xn adalah data ke-n
- n adalah banyaknya data
Contoh Soal No.1
Jika diketahui data sebagai berikut : 6, 8, 5, 7, 6, 3, 2, 4, 8 . Carilah nilai mean nya ?
Pembahasan
x̄ =
x̄ =
x̄ =
x1 + x2 + x3+........+xn
n
x̄ =
6 + 8 + 5 + 7 + 6 + 3 + 2 + 4 + 8
9
x̄ =
49
9
= 5,4 Contoh Soal No.2
Hasil peroleh nilai untuk lima siswa memiliki nilai rata-rata 7. Berapkah total nilai dari ke-5 siswa tersebut ?
Pembahasan
x̄ =
7 =
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 5.7
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 35
Jadi total nilai ke-5 siswa tersebut adalah 35
x1 + x2 + x3+........+xn
n
7 =
x1 + x2 + x3 + x4 + x5
5
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 5.7
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 35
Jadi total nilai ke-5 siswa tersebut adalah 35
B. Mean untuk Data Kelompok
Untuk menentukan atau mencari Mean (rata-rata hitung) data berkelompok,kita menggunakan rumus :
x̄ =
Keterangan:
∑fi.xi
∑fi
Keterangan:
- fi adalah frekuensi
- xi adalah nilai tengah
Contoh Soal No.1
Tentukan nilai mean (rata-rata) dari data seperti yang ditunjukkan oleh tabel dibawah ini :
| Nilai | Frekuensi |
|---|---|
| 21-25 | 2 |
| 26-30 | 8 |
| 31-35 | 9 |
| 36-40 | 6 |
| 41-45 | 3 |
| 46-50 | 2 |
Pembahasan
Dari data tabel di atas, kita cari nilai tengah masing-masing interval, kemudian kita kalikan dengan frekuensi seperti yang ditunjukkan oleh tabel berikut :
x̄ =
x̄ =
| Nilai | Frekuensi (fi) | Nilai tengah (xi) | fi.xi |
|---|---|---|---|
| 21-25 | 2 | 23 | 46 |
| 26-30 | 8 | 28 | 224 |
| 31-35 | 9 | 33 | 297 |
| 36-40 | 6 | 38 | 228 |
| 41-45 | 3 | 43 | 129 |
| 46-50 | 2 | 48 | 96 |
| Jumlah | 30 | 1020 |
x̄ =
∑fi.xi
∑fi
x̄ =
1020
30
= 34 Modus
Modus yang dimaksud disini bukanlah suatu motif niatan, tetapi lebih kepada banyaknya data yang sering muncul. Dengan kata lain modus adalah data yang memiliki frekuensi yang lebih banyak dari data-data lain.Dalam suatu data bisa saja memiliki lebih dari satu modus, bisa saja dua modus (bimodal) atau lebih (multimodal). Berarti, semua angka yang paling sering muncul dalam sebuah data bisa disebut sebagai modus.
A. Modus untuk Data Tunggal
Untuk menentukan modus pada tunggal, kita cukup perhatikan data mana yang paling banyak muncul.Contoh Soal No.1
Dalam sebuah lowongan untuk posisi seorang manajer di perusahaan telokomunikasi, usia pelamarnya sangat bervariasi yaitu :
36, 38, 39, 37, 42, 45, 42, 39, 40, 40.
Tentukan nilai modusnya ?
Pembahasan
Dari data umur : 36, 38, 39, 37,
Dengan demikian modusnya adalah 40 dan 42.
42, 45, 42, 39, 40, 40, data yang paling sering muncul adalah : 40 dan 42 masing-masing sebanyak dua kali dibandingkan dengan data lain. Dengan demikian modusnya adalah 40 dan 42.
Contoh Soal No.2
Carial Modus jika suatu data yang memiliki frekuensi seperti tabel di bawah ini :
| Data | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|
| Frekuensi | 4 | 2 | 3 | 2 | 1 |
Pembahasan
Modus pada tabel di atas adalah 5, yaitu muncul sebanyak 4 kali
B. Modus untuk Data Kelompok
Pencarian modus untuk data kelompok tidak bisa kita amati dengan sekilas, karena banyaknya data. Oleh karena itu, untuk mencari modus pada data kelompok kita gunakan rumus :
Mo = Tb + p(
Keterangan :
d1
d1+d2
)
Keterangan :
- Mo adalah modus
- p adalah panjang interval atau kelas
- Tb adalah tepi bawah kelas modus
- d1 adalah selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
- d2 adalah selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
Contoh Soal No.1
Carilah modus dari data berikut :
| Nilai | Frekuensi |
|---|---|
| 21-25 | 2 |
| 26-30 | 8 |
| 31-35 | 9 |
| 36-40 | 6 |
| 41-45 | 3 |
| 46-50 | 2 |
Pembahasan
Frekuensi yang paling sering muncul atau banyak adalah 9 pada interval 31 – 35.
Dengan demikian kelas modus berada pada interval 31 – 35.
Tb = 30,5
p = 5
d1 = 9 – 8 = 1
d2 = 9 – 6 = 3
Mo = Tb + p(
Mo = 30,5 + 5(
Mo = 30,5 + 1,25
Mo = 31,75
Dengan demikian kelas modus berada pada interval 31 – 35.
Tb = 30,5
p = 5
d1 = 9 – 8 = 1
d2 = 9 – 6 = 3
Mo = Tb + p(
d1
d1+d2
)
Mo = 30,5 + 5(
1
1 + 3
)Mo = 30,5 + 1,25
Mo = 31,75