Informasi Serba Definisi

Contoh Soal Limit Fungsi Trigonometri dan Pembahasannya

Contoh Soal Limit Fungsi Trigonometri dan Pembahasannya

Dalam tutorial mata pelajaran matematika pada edisi sebelumnya, kita telah membahas soal-soal yang berkaitan dengan "Limit Fungsi Aljabar" yang disertai dengan pembahasan secara detil.

Maka dalam edisi matematika kali ini, kita masih membahas tentang limit, yaitu : Limit Fungsi Trigonometri.

Sama halnya dengan limit fungsi aljabar, penyelesaian limit fungsi trigonometri paling umum dilakukan dengan substitusi terlebih dahulu. Jika seandainya hasil yang diperoleh adalah bentuk tidak tentu, baru dilanjutkan dengan model penyelesaian lain seperti :
  • Dengan cara pemfaktoran
  • Dengan cara turunan

Sifat-Sifat Limit Fungsi Trigonometri

Dalam mencari nilai limit fungsi trigonometri, maka kita perlu memahami beberapa sifat limit fungsi trigonometri.

A. Sifat - Sifat Limit Fungsi Trigonometri Dasar

  • lim x→0
    Sin x / x
    = 1, begitu juga dengan
    lim x→0
    Sin ax / ax
    = 1
  • lim x→0
    x / Sin x
    = 1, begitu juga dengan
    lim x→0
    ax / Sin ax
    = 1
  • lim x→0
    tan x / x
    = 1, begitu juga dengan
    lim x→0
    tan ax / ax
    = 1
  • lim x→0
    x / tan x
    = 1, begitu juga dengan
    lim x→0
    ax / tan ax
    = 1

B. Sifat - Sifat Limit Fungsi Trigonometri lainnya

  • lim x→0
    Sin ax / bx
    =
    a / b
       atau
    lim x→0
    ax / Sin bx
    =
    a / b
  • lim x→0
    tan ax / bx
    =
    a / b
       atau
    lim x→0
    ax / tan bx
    =
    a / b
  • lim x→0
    sin ax / sin bx
    =
    a / b
       atau
    lim x→0
    tan ax / tan bx
    =
    a / b
  • lim x→0
    sin ax / tan bx
    =
    a / b
       atau
    lim x→0
    tan ax / sin bx
    =
    a / b


Contoh Soal

Soal No.1
Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri berikut ini :
lim x→0
sin 3x / 2x

Pembahasan
lim x→0
sin 3x / 2x
=
lim x→0
sin 3x / 2x
.
3x / 3x
lim x→0
sin 3x / 3x
.
3x / 2x
⇔1.
3 / 2
=
3 / 2


Soal No.2
Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri berikut ini :
lim x→0
5x / 3 Sin 3x

Pembahasan
lim x→0
5x / 3 Sin 3x
=
lim x→0
5x / 3 Sin 3x
.
3x / 3x
lim x→0
3x / 3 Sin 3x
.
5x / 3x
lim x→0
1 / 3
.
3x / Sin 3x
.
5x / 3x
1 / 3
.1.
5 / 3
=
5 / 9


Soal No.3
Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri berikut ini berdasarkan sifat-sifat limit fungsi trigonometri (lihat rumus diatas):
a.
lim x→0
sin 4x / 3x
b.
lim x→0
sin 2x / sin 3x
c.
lim x→0
sin 2x / tan 7x


Pembahasan
a.
lim x→0
sin 4x / 3x
=
4 / 3
Limit tersebut menggunakan sifat :
lim x→0
Sin ax / bx
=
a / b

b.
lim x→0
sin 2x / sin 3x
=
2 / 3
Limit tersebut menggunakan sifat :
lim x→0
sin ax / sin bx
=
a / b

c.
lim x→0
sin 2x / tan 7x
=
2 / 7
Limit tersebut menggunakan sifat
lim x→0
sin ax / tan bx
=
a / b


Soal No.4
Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri berikut ini dengan cara turunan:
lim x→0
3x / sin 3x


Pembahasan
Kalau kita mengacu pada rumus diatas tentunya akan didapatkan 3/4, namun disini akan menggunakan cara turunan dalam mencari limit tersebut.
lim x→0
3x / sin 3x

lim x→0
3x / sin 3x
=
3 / 4 cos 4x
=
3 / 4 cos 0
=
3 / 4


Soal No.5
Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri berikut ini :
lim x1/2
sin (4x - 2) / tan (2x - 1)


Pembahasan
Kita misalkan :
a = 2x -1
Jika x→1/2, maka a→0

Dengan demikian penyelesaian limit diatas adalah :
lim x1/2
sin (4x - 2) / tan (2x - 1)
lim x1/2
sin 2(2x - 1) / tan (2x - 1)
lim x1/2
sin 2a / tan a
= 2


Soal No.6
Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri berikut ini :
lim x→0
x2 + sin x tan x / 1- cos 2x

Pembahasan
lim x→0
x2 + sin x tan x / 1- cos 2x
lim x→0
x2 + sin x tan x / 1- (1- 2 Sin2x)
lim x→0
x2 + sin x tan x / 2 Sin2x
lim x→0
x2 / 2 Sin2x
+
Sin x tan x / 2 Sin2x
lim x→0
1 / 2
x
x / Sin x
x
x / Sin x
+
1 / 2
x
Sin x / Sin x
x
tan x / Sin x
1 / 2
x 1 x 1 +
1 / 2
x 1 x 1 = 1


Soal No.7
Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri berikut ini :
lim x→0
2 - 2 cos 2x / x2

Pembahasan
lim x→0
2 - 2 cos 2x / x2
lim x→0
2(1 - cos 2x) / x2
lim x→0
2{1 - (1 - 2 Sin2x)} / x2
lim x→0
2(1 - 1 + 2 Sin2x) / x2
lim x→0
2(2 Sin2x) / x2
lim x→0
4 Sin2x / x2
⇔ 4.
lim x→0
(
Sin x / x
)2 = 4.12 = 4

Share this:

You Might Also Like:

Disqus Comments