Maka dalam edisi matematika kali ini, kita masih membahas tentang limit, yaitu : Limit Fungsi Trigonometri.
Sama halnya dengan limit fungsi aljabar, penyelesaian limit fungsi trigonometri paling umum dilakukan dengan substitusi terlebih dahulu. Jika seandainya hasil yang diperoleh adalah bentuk tidak tentu, baru dilanjutkan dengan model penyelesaian lain seperti :
- Dengan cara pemfaktoran
- Dengan cara turunan
Sifat-Sifat Limit Fungsi Trigonometri
Dalam mencari nilai limit fungsi trigonometri, maka kita perlu memahami beberapa sifat limit fungsi trigonometri.A. Sifat - Sifat Limit Fungsi Trigonometri Dasar
-
lim x→0Sin x x= 1, begitu juga denganlim x→0Sin ax ax= 1
-
lim x→0x Sin x= 1, begitu juga denganlim x→0ax Sin ax= 1
-
lim x→0tan x x= 1, begitu juga denganlim x→0tan ax ax= 1
-
lim x→0x tan x= 1, begitu juga denganlim x→0ax tan ax= 1
B. Sifat - Sifat Limit Fungsi Trigonometri lainnya
-
lim x→0Sin ax bx=a bataulim x→0ax Sin bx=a b
-
lim x→0tan ax bx=a bataulim x→0ax tan bx=a b
-
lim x→0sin ax sin bx=a bataulim x→0tan ax tan bx=a b
-
lim x→0sin ax tan bx=a bataulim x→0tan ax sin bx=a b
Contoh Soal
Soal No.1Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri berikut ini :
lim
x→0
sin 3x
2x
Pembahasan
lim
x→0
sin 3x
2x
=
lim
x→0
sin 3x
2x
.
3x
3x
⇔
lim
x→0
sin 3x
3x
.
3x
2x
⇔1.
3
2
=
3
2
Soal No.2
Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri berikut ini :
lim
x→0
5x
3 Sin 3x
Pembahasan
lim
x→0
5x
3 Sin 3x
=
lim
x→0
5x
3 Sin 3x
.
3x
3x
⇔
lim
x→0
3x
3 Sin 3x
.
5x
3x
⇔
lim
x→0
1
3
.
3x
Sin 3x
.
5x
3x
⇔
1
3
.1.
5
3
=
5
9
Soal No.3
Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri berikut ini berdasarkan sifat-sifat limit fungsi trigonometri (lihat rumus diatas):
a.
lim
x→0
sin 4x
3x
b.
lim
x→0
sin 2x
sin 3x
c.
lim
x→0
sin 2x
tan 7x
Pembahasan
a.
lim
x→0
sin 4x
3x
=
4
3
Limit tersebut menggunakan sifat :
lim
x→0
Sin ax
bx
=
a
b
b.
lim
x→0
sin 2x
sin 3x
=
2
3
Limit tersebut menggunakan sifat :
lim
x→0
sin ax
sin bx
=
a
b
c.
lim
x→0
sin 2x
tan 7x
=
2
7
Limit tersebut menggunakan sifat
lim
x→0
sin ax
tan bx
=
a
b
Soal No.4
Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri berikut ini dengan cara turunan:
lim
x→0
3x
sin 3x
Pembahasan
Kalau kita mengacu pada rumus diatas tentunya akan didapatkan 3/4, namun disini akan menggunakan cara turunan dalam mencari limit tersebut.
lim
x→0
3x
sin 3x
⇔
lim
x→0
3x
sin 3x
=
3
4 cos 4x
=
3
4 cos 0
=
3
4
Soal No.5
Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri berikut ini :
lim
x→1/2
sin (4x - 2)
tan (2x - 1)
Pembahasan
Kita misalkan :
a = 2x -1
Jika x→1/2, maka a→0
Dengan demikian penyelesaian limit diatas adalah :
a = 2x -1
Jika x→1/2, maka a→0
Dengan demikian penyelesaian limit diatas adalah :
lim
x→1/2
sin (4x - 2)
tan (2x - 1)
⇔
lim
x→1/2
sin 2(2x - 1)
tan (2x - 1)
⇔
lim
x→1/2
sin 2a
tan a
= 2
Soal No.6
Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri berikut ini :
lim
x→0
x2 + sin x tan x
1- cos 2x
Pembahasan
lim
x→0
x2 + sin x tan x
1- cos 2x
⇔
lim
x→0
x2 + sin x tan x
1- (1- 2 Sin2x)
⇔
lim
x→0
x2 + sin x tan x
2 Sin2x
⇔
lim
x→0
x2
2 Sin2x
+
Sin x tan x
2 Sin2x
⇔
lim
x→0
1
2
x
x
Sin x
x
x
Sin x
+
1
2
x
Sin x
Sin x
x
tan x
Sin x
⇔
1
2
x 1 x 1 +
1
2
x 1 x 1 = 1
Soal No.7
Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri berikut ini :
lim
x→0
2 - 2 cos 2x
x2
Pembahasan
lim
x→0
2 - 2 cos 2x
x2
⇔
lim
x→0
2(1 - cos 2x)
x2
⇔
lim
x→0
2{1 - (1 - 2 Sin2x)}
x2
⇔
lim
x→0
2(1 - 1 + 2 Sin2x)
x2
⇔
lim
x→0
2(2 Sin2x)
x2
⇔
lim
x→0
4 Sin2x
x2
⇔ 4.
lim
x→0
(
Sin x
x
)2 = 4.12 = 4